Passaggio al limite sotto il segno di integrale

[gbspeedy]

ho la successione di funzioni $ f_n(x)=x^(n-x/n)$ $AA x in (0,1) $

devo provare se $ lim_(n -> oo) int_(0)^(1) f_n(x)dx =int_(0)^(1)lim_(n -> oo) f_n(x)dx $

le $f_n(x)$ convergono puntualmente alla funzione identicamente nulla e sono continue.

[gbspeedy]

Se provo la convergeza uniforme su (0,1) la relazione è verificata?

[gugo82]

Potevi far passare un'altra ventina di giorni...

Ad ogni modo, sì, sarebbe soddisfatta.
Tuttavia si vede "a occhio" che la convergenza non può essere uniforme su \(]0,1[\).

Inoltre, gli integrali delle \(f_n\) non sono esprimibili elementarmente, quindi la vedo dura procedere in modo "standard"...
Da dov'è preso l'esercizio?

[gbspeedy]

scheda di esercitazione data dal prof.
come posso risolverlo?

[gugo82]

Che la successione converga a zero ovunque in \(]0,1[\) è evidente, dunque:
\[
\int_0^1 \lim_n f_n(x)\ \text{d} x =0\; .
\]
Quindi si tratta di vedere che succede alla successione di termine generale:
\[
\int_0^1 f_n(x)\ \text{d} x = \int_0^1 x^{n - \frac{x}{n}}\ \text{d} x\; .
\]
Ma, se tieni presente che \(0\leq \frac{x}{n}\leq 1\) puoi maggiorare e minorare l'integrando in maniera da ottenere funzioni elementarmente integrabili e fare un paio di conti espliciti.
Prova.

[gbspeedy]

otterrei $1/n<=\int_(0)^(1) x^(n-x/n) dx<=1/(n+1)$

per $n->+oo$ l'integrale tende a zero e quindi la relazione è soddisfatta.