Passaggio al limite sotto il segno di integrale
ciao a tutti cercavo di risolvere un problema come da titolo. in particolare:
$ lim_(k -> +oo) 1/k int_(E_k)(sin(x/k))/(x^3 sqrtx)dx $ con $ E_k=[k^(-1), +oo] $
prima di tutto ho fatto il cambio di variabili $ y=kx $ sostituendo e portando nell'integrale $1/k$ (possibile perchè il dominio di integrazione non dipende più da k), ottengo $ lim_(k->+oo)int_(1)^(+oo)k^(3/2)sin(y/k^2)/(y^3 sqrty)dy $ .
il problema sorge nel trovare un maggiorante per la successione di funzione $ f_n:=k^(3/2)sin(y/k^2)/(y^3 sqrty) $ per poter applicare il teorema della convergenza dominata di Lesbegue.
io maggiorerei in questo modo (ometto il modulo perchè tanto $y > 0$): $ f_n := k^(3/2)sin(y/k^2)/(y^3 sqrty)<=1/(sqrtk y^2 sqrty) $ che però è inconcludente perchè ancora ho la dipendenza da k.
qualche idea/correzione?
$ lim_(k -> +oo) 1/k int_(E_k)(sin(x/k))/(x^3 sqrtx)dx $ con $ E_k=[k^(-1), +oo] $
prima di tutto ho fatto il cambio di variabili $ y=kx $ sostituendo e portando nell'integrale $1/k$ (possibile perchè il dominio di integrazione non dipende più da k), ottengo $ lim_(k->+oo)int_(1)^(+oo)k^(3/2)sin(y/k^2)/(y^3 sqrty)dy $ .
il problema sorge nel trovare un maggiorante per la successione di funzione $ f_n:=k^(3/2)sin(y/k^2)/(y^3 sqrty) $ per poter applicare il teorema della convergenza dominata di Lesbegue.
io maggiorerei in questo modo (ometto il modulo perchè tanto $y > 0$): $ f_n := k^(3/2)sin(y/k^2)/(y^3 sqrty)<=1/(sqrtk y^2 sqrty) $ che però è inconcludente perchè ancora ho la dipendenza da k.
qualche idea/correzione?
Risposte
Potresti sfruttare il fatto che $\sin x \leq x$ per $x \geq 0$. Quindi l'integrale è maggiorato da $\frac{1}{k^{1/2}} \int_1^{+\infty} \frac{dy}{y^{5/2}}$. A questo punto non serve applicare il teorema della convergenza dominata, perché l'integrale è convergente.
ok è esattamente quello che ho fatto (e questo mi rincuora). però per valutare la sommabilità della funzione non dovrebbe sparire la dipendenza da k?
a quel punto tutte le ipotesi del teorema di Lebesgue (convergenza uniforme, misurabilità e limitatezza) sono soddisfatte e quindi
$ lim_(k->+oo)1/k int_(E_k)(sin(x/k))/(x^3 sqrtx)dx =int_(1)^(+oo)f(x)=0 $
quello che mi stai dicendo è che posso concludere che il limite di partenza è zero perchè l'integrale è convergente mentre $1/sqrtk -> 0$?
a quel punto tutte le ipotesi del teorema di Lebesgue (convergenza uniforme, misurabilità e limitatezza) sono soddisfatte e quindi
$ lim_(k->+oo)1/k int_(E_k)(sin(x/k))/(x^3 sqrtx)dx =int_(1)^(+oo)f(x)=0 $
quello che mi stai dicendo è che posso concludere che il limite di partenza è zero perchè l'integrale è convergente mentre $1/sqrtk -> 0$?
"cooper":
quello che mi stai dicendo è che posso concludere che il limite di partenza è zero perchè l'integrale è convergente mentre $1/sqrtk -> 0$?
Non esattamente, perché nel primo integrale c'è ancora la dipendenza da $k$ agli estremi. Ma puoi applicare questo ragionamento all'ultimo integrale che maggiora il primo (in modulo):
$$\left| \int_1^{+\infty} f_k(y) dy \right| \leq \frac{1}{\sqrt{k}} \int_1^{+\infty} \frac{dy}{y^{5/2}} \leq \frac{M}{\sqrt{k}} \to 0$$
quindi il ragionamento lo uso per garantire la limitatezza?
Ho aggiunto più dettagli alla risposta precedente. Forse ora è più chiaro 
ah ok grazie mille! 
Prego
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