Passaggio al limite sotto il segno di integrale
Ciao ragazzi, non so come comportarmi con il seguente esercizio:
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione $ f_n(x)= nx(1-x)^n $ con $ x in [0;1] $.
Provare che $\lim_{n }int_0^1 f_n(x)dx=int_0^1lim_{n }f_n(x)dx$
Ho trovato che la successione converge uniformemente alla funzione identicamente nulla nell'intervallo $[a;1]$ con $ a>0 $
Quindi non ci sono le condizioni per applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale....e allora come fare per provare il secondo punto?
Grazie.
Studiare la convergenza puntuale ed uniforme della successione $ f_n(x)= nx(1-x)^n $ con $ x in [0;1] $.
Provare che $\lim_{n }int_0^1 f_n(x)dx=int_0^1lim_{n }f_n(x)dx$
Ho trovato che la successione converge uniformemente alla funzione identicamente nulla nell'intervallo $[a;1]$ con $ a>0 $
Quindi non ci sono le condizioni per applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale....e allora come fare per provare il secondo punto?
Grazie.
Risposte
E perché non converge in un intorno di 0?
...in effetti hai ragione posso dire che converge uniformemente anche in $ (0;1) $....giusto? (alla fine è solo lo zero che da problemi)
Ma il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale si può applicare anche se l'intervallo è aperto?
Ma il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale si può applicare anche se l'intervallo è aperto?
Ma che problemi da in 0?
ho che $\lim_{n \to \infty} $sup $x in [0,1] |f_n(x)-f(x)|=n/(1+n) (n/(1+n))^n = 1/e$ quindi non converge uniformemente in $[0;1]$
Visto che l'estremo superiore $1/(1+n) $ tende a zero mi pongo in un intervallo [a;1] con a>0
Visto che l'estremo superiore $1/(1+n) $ tende a zero mi pongo in un intervallo [a;1] con a>0
$f_n(x)= nx(1-x)^n$
Hai la funzione limite che è zero..
$|nx(1-x)^n|
Hai la funzione limite che è zero..
$|nx(1-x)^n|
Studiando la derivata prima di $|f_n(x)-f(x)|$ ho che $1/(1+n)$ è un punto di massimo, lo vado a sostituire in $|f_n(x)-f(x)|$
ed arrivo a dire ciò che ho detto.
ed arrivo a dire ciò che ho detto.
Hai ragione direi! Però a quel punto potresti provare a far tendere l'integrale della tua funzione a intervalli sempre più vicini 0, dovrebbe convergere ad un certo valore..
Ma la questione era questa, ovvero: visto che non ho le condizioni necessarie (a mio parere) per applicare il teorema di passaggio al limite sotto il segno di integrale, l'unica chance che ho per provare il secondo punto è svolgere i due integrali e verificare l'uguaglianza??
In passato ho già fatto esercizi simili, ma era sempre possibile applicare il teorema e quindi non risolvevo nessun integrale..
In passato ho già fatto esercizi simili, ma era sempre possibile applicare il teorema e quindi non risolvevo nessun integrale..
Questo esercizio è un tipico controesempio nella teoria del passaggio al limite.
Infatti, ti mostra che, scelta una successione di funzioni integrabili (secondo Riemann) in un intervallo compatto \([a,b]\), il teorema:
\[
(f_n) \text{ converge uniformemente in } [a,b] \quad \Rightarrow \quad \lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x = \int_a^b \left(\lim_n f_n(x)\right)\ \text{d} x
\]
afferma che la convergenza uniforme è una condizione necessaria ma nient'affatto sufficiente al sussistere dell'uguaglianza \(\lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x = \int_a^b \left(\lim_n f_n(x)\right)\ \text{d} x\); in altre parole, non vale il teorema inverso del precedente, cioè in generale:
\[
(f_n) \text{ converge uniformemente in } [a,b] \quad \not\Leftarrow \quad \lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x = \int_a^b \left(\lim_n f_n(x)\right)\ \text{d} x\; .
\]
Per venire all'esercizio...
Infatti, ti mostra che, scelta una successione di funzioni integrabili (secondo Riemann) in un intervallo compatto \([a,b]\), il teorema:
\[
(f_n) \text{ converge uniformemente in } [a,b] \quad \Rightarrow \quad \lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x = \int_a^b \left(\lim_n f_n(x)\right)\ \text{d} x
\]
afferma che la convergenza uniforme è una condizione necessaria ma nient'affatto sufficiente al sussistere dell'uguaglianza \(\lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x = \int_a^b \left(\lim_n f_n(x)\right)\ \text{d} x\); in altre parole, non vale il teorema inverso del precedente, cioè in generale:
\[
(f_n) \text{ converge uniformemente in } [a,b] \quad \not\Leftarrow \quad \lim_n \int_a^b f_n(x)\ \text{d} x = \int_a^b \left(\lim_n f_n(x)\right)\ \text{d} x\; .
\]
Per venire all'esercizio...
Infatti è stato proprio cosi che ho fatto poi 
Solo che mancandomi il confronto, non ero sicuro che stessi procedendo nella maniera giusta.
Grazie Gugo.
Solo che mancandomi il confronto, non ero sicuro che stessi procedendo nella maniera giusta.
Grazie Gugo.
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