Passaggio al limite in spazi metrici

baldo891
premetto che studio fisica non matematica
Siano $M$ ed $M^1$ due spazi metrici,muniti rispettivamente delle distanze $d$ e $d^1$ e sia $A$ una trasformazione da $M$ a $M^1$, indichiamo con x,y due elementi qualunque di $M$ ,e con $x^(1)$ e $y^(1)$ i loro trasformati secondo $A$.Diremo che $A$ è continua se manda punti vicini in punti vicini, cioè se per ogni $\epsilon>0$ esiste $c$tale che $d(x,y) Potete farmi un'esempio pratico semplice? il mio orribile libro purtroppo non ne fa,grazie.

Risposte
dissonance
Non è altro che la definizione di limite che conosci benissimo, se come distanza prendi il valore assoluto, o il modulo, o la lunghezza di un vettore. Magari scrivi $delta$ invece di $c$ e dovrebbe essere tutto più chiaro.

Rigel1
Esempio banale: $M=M^1 = \mathbb{R}$, entrambi muniti dell'usuale metrica euclidea; $A:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ una qualsiasi funzione continua nel senso a te noto dai tempi dall'analisi 1.

baldo891
intanto grazie...provo a fare un'esempio: sia $M=R^2$ e $M^1=R^3$, siano $v1=(1,1)$ e $v2=(2,1)$ elementi di $R^2$ sia $A=(2y,x,y)$,dimostrare che $A$ è continua: i trasformati dei vettori secondo $A$ sono $v1^1=(2,1,1)$ e $v2^2=(2,2,1)$ ora $d(v1,v2)=1<\delta$ e $d(v1^1,v2^2)=1<\epsilon$ quindi $a$ è continua.giusto ? cosa succede per esempio se $M^1$ è infinito dimensionale ? tipo $M^1=L2$

baldo891
up

dissonance
[mod="dissonance"]Non fare UP prima di 24 ore dall'ultimo post. Vedi regolamento 3.4.[/mod]
Comunque sia la tua domanda precedente non ha molto senso. Intanto cosa sono $v_1, v_2$? Non serve fissare due punti di $M$ per verificare la continuità. Ma esercizi con $epsilon, delta$ del tipo "verificare, usando la definizione, che la data funzione $f$ è continua" non ne hai mai fatti? E' proprio la stessa cosa qui, solo che invece del valore assoluto devi usare le distanze

$d(v, w)=sqrt((w_1-v_1)^2+(w_2-v_2)^2)$ in $M$,
$d_1(p, q)=sqrt((p_1-q_1)^2+(p_2-q_2)^2+(p_3-q_3)^2)$ in $M^1$.

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.