Passaggio al limite in senso complesso sotto il segno di integrale

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti, mi trovo di fronte al seguente problema.

Non riesco a capire sotto quali ipotesi posso affermare che, essendo \( h \in \mathbb{C} \), valga l'uguaglianza
\[ \lim_{h \to 0} \int_0^{+\infty} f(t) \frac{e^{-ht}-1}{-ht}\, \text{d}t = \int_0^{+\infty} f(t)\, \text{d}t \]
dove gli integrali sono nel senso di Lebesgue (supponete pure \( f \in L^1(\mathbb{R}) \)).

Chi mi aiuta?

[gugo82]

"A occhio", direi convergenza dominata.

Le funzioni della famiglia:
\[
\phi_h(t) := f(t)\ \frac{e^{-ht}-1}{-ht}
\]
presenti sotto il segno d'integrale sono maggiorate da roba sommabile, poiché dall'approssimazione di Taylor \(e^z-1 = z+\text{o}(z)\) segue:
\[
\left| \frac{e^z-1}{z}\right|\leq C
\]
con \(C>0\) appropriata, sicché:
\[
\left| \phi_h(t) \right|=\left| f(t)\ \frac{e^{-ht}-1}{-ht}\right| \leq C\ \left| f(t)\right|
\]
ed il limite può essere portato dentro al segno d'integrale.

[Riccardo Desimini]

L'avevo immaginato, solo che in giro tra testi e dispense varie ho trovato l'enunciato solo nel caso di una successione \( f_n \) di funzioni misurabili.

Com'è che si modifica l'enunciato del teorema quando ho come in questo caso un limite in senso complesso con punto di accumulazione, appunto, complesso?

Intanto grazie per la dritta.

[Paolo902]

Prova a dare un'occhiata a Rudin, R&CA, pag. 180, Remark 9.3(a).

[Riccardo Desimini]

Grazie Paolo, mi è stato di aiuto il tuo riferimento. Comunque se ci sono anche altre proposte sarò felice di ascoltarle.

[gugo82]

Ma se realizzi che ogni limite su una variabile continua \(h\to h_0\) è un limite su ogni successione \(h_n\to h_0\) (per il teorema ponte), non è che c'è molta filosofia da fare su queste cose.