Passaggio a coordinate cilindriche di un dominio dello spazio
Non riesco a capire come passare a coordinate cilindriche in questo dominio. Ho \(\displaystyle D={(x,y,z)} \epsilon R^3 : x^2 + y^2 <= 1 ; 0<=z<=10 -x -y \).
Ponendo \(\displaystyle x = p*cos(\theta) ; z=z ; y=p*sin(\theta) \) viene p compreso tra 0 e 1, ma per il resto non so come procedere. Idee?
Ponendo \(\displaystyle x = p*cos(\theta) ; z=z ; y=p*sin(\theta) \) viene p compreso tra 0 e 1, ma per il resto non so come procedere. Idee?
Risposte
Come non sai come procedere?
Devi banalmente sostituire, ottenendo $0
Volendo puoi notare che essendo $p\leq 1$ allora $-p(\cos \theta + \sin \theta)\leq \sqrt{2}$ questo perché la somma di seno e coseno è massima per $\theta=\frac{\pi}{4}+2k\pi$ e minima per $ \theta=\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi$ quindi essendoci un meno di fronte all'espressione a te interessa il minimo; per tale minimo si ha che la somma di seno e coseno fa $-\sqrt{2}$ quindi volendo si ha che $0\leq z \leq 10 + \sqrt{2}$ poi non mi pare che vi siano angoli non ammessi, quindi $0<\theta\leq 2\pi$ ; e questo è quanto, in ogni caso non è sempre detto che tu possa esprimere un dominio con delle relazioni numeriche (e non è nemmeno sempre necessario) nel senso che potrebbe anche andar bene fermarsi a $0
Devi banalmente sostituire, ottenendo $0
Volendo puoi notare che essendo $p\leq 1$ allora $-p(\cos \theta + \sin \theta)\leq \sqrt{2}$ questo perché la somma di seno e coseno è massima per $\theta=\frac{\pi}{4}+2k\pi$ e minima per $ \theta=\frac{\pi}{4}+\pi+2k\pi$ quindi essendoci un meno di fronte all'espressione a te interessa il minimo; per tale minimo si ha che la somma di seno e coseno fa $-\sqrt{2}$ quindi volendo si ha che $0\leq z \leq 10 + \sqrt{2}$ poi non mi pare che vi siano angoli non ammessi, quindi $0<\theta\leq 2\pi$ ; e questo è quanto, in ogni caso non è sempre detto che tu possa esprimere un dominio con delle relazioni numeriche (e non è nemmeno sempre necessario) nel senso che potrebbe anche andar bene fermarsi a $0
Ok ti ringrazio, in effetti avevo fatto così però per qualche strana ragione pensavo che z potesse essere espresso solo in funzione di p e non di theta.
Un altro dubbio che ho, in alcuni esercizi ho visto che veniva assegnato a z (o ad altre variabili) il valore \(\displaystyle p^2 \), per poi ricalcolare il Jacobbiano. Quindi posso assegnare arbitrariamente \(\displaystyle p \) purché ricalcoli il Jacobbiano?
Un altro dubbio che ho, in alcuni esercizi ho visto che veniva assegnato a z (o ad altre variabili) il valore \(\displaystyle p^2 \), per poi ricalcolare il Jacobbiano. Quindi posso assegnare arbitrariamente \(\displaystyle p \) purché ricalcoli il Jacobbiano?
Prego,
Non mi è chiaro cosa intendi, prova a citare un esempio specifico e vedrò se sono in grado di risponderti.
Non mi è chiaro cosa intendi, prova a citare un esempio specifico e vedrò se sono in grado di risponderti.
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