Passaggi trasformata di fourier funzione gradino

[mazzy89-votailprof]

E' da un pò che non maneggio l'analisi complessa e sono perciò un arrugginito.Stavo provando ad ottenere la trasformata di fourier del gradino però mi blocco in qualche passaggio.

la definizione che posseggo di trasformata di fourier è la seguente:

$int_(-oo)^(+oo) f(t)*e^(-2pijft)dt$

supponendo che non sia errata considero $f(t)=u(t)$ dove $u(t)$ è la funzione gradino

quell'integrale allora si "rimpicciolisce" e diventa $int_(0)^(+oo) u(t)*e^(-2pijft)dt = int_(0)^(+oo) 1*e^(-2pijft)dt$

per risolvere quest'ultimo integrale mi servo di una tra le tante definizione di delta di dirac ottenendo così:

$int_(0)^(+oo) 1*e^(-2pijft)dt = 1/2*delta(f)$

ma stando ai libri mi manca un $+1/(j2pif)$

dov'è l'errore?

[fireball-votailprof]

Poichè si ha: $u(t)=1/2+1/2sgn(t)$
allora la trasformata cercata è $1/2\delta(f)+Pf(1/(j2\pif))$

[mazzy89-votailprof]

grazie Andre@ ma riflettendoci un pò su sono arrivato a questa conclusione:

riconsidero per bene la definizione di funzione gradino.questa vale $1$ per $t>0$, $0$ per $t<0$ ed $1/2$ per $t=0$

allora ho considerato i vari casi ottenendo $1/(j2pif)$ per $t>0$ ed $1/2*delta(f)$ per $t=0$

[affinito]

non puoi fare la trasformata di fourier del gradino con la definizione di trasformata ,perchè il gradino non è una funzione sommabile, ecco perchè si fa con la distribuzioni

[dissonance]

@affinito: Vero. Infatti quelle di mazzy sono tutte considerazioni matematicamente non corrette ma che comunemente si fanno per calcolare trasformate di Fourier. Si tratta di metodi molto veloci ed efficaci ma soggetti ad errore, come in questo caso. Nel caso specifico secondo me la cosa migliore è fare come Andrea.