Passaggi serie
Ciao a tutti!
Era un po di tempo che non vi scocciavo, ora però ho un problema
Svolgendo un esercizio sulle serie, peraltro abbastanza banale, il professore effettua dei "giochetti" con gli indici della sommatoria, uno dei quali non mi è molto chiaro. E' ininfluente postare tutto l'esercizio, inserisco solo il pezzo che mi è oscuro. Ho inserito un'immagine per evitare di sbagliarmi.
1. Il primo passaggio è la serie di partenza, fin qui ci sono
2. Qui scambia l'indice portando a 2, di modo da avere $1/n$ e far partire la serie da 1/2 come dovrebbe (prima era $1/(n+1)$
3. Qui ci sono: aumenta di uno l'indice dell'esponente di $(-1)^n$, in modo da avere n+1, e mette il meno fuori in modo da invertire l'ordine che aveva invertito col +1 all'esponente, lasciando quindi tutto "intatto". E' un po contorto, spero si capisca
4. Qui invece mi blocco. Riporta a 1 l'indice della sommatoria ma non tocca ne il sopra ne il sotto, mentre mette un +1 dopo la sommatoria. Che cosa ha fatto?
Grazie a tutti ^_^
Era un po di tempo che non vi scocciavo, ora però ho un problema
Svolgendo un esercizio sulle serie, peraltro abbastanza banale, il professore effettua dei "giochetti" con gli indici della sommatoria, uno dei quali non mi è molto chiaro. E' ininfluente postare tutto l'esercizio, inserisco solo il pezzo che mi è oscuro. Ho inserito un'immagine per evitare di sbagliarmi.
1. Il primo passaggio è la serie di partenza, fin qui ci sono
2. Qui scambia l'indice portando a 2, di modo da avere $1/n$ e far partire la serie da 1/2 come dovrebbe (prima era $1/(n+1)$
3. Qui ci sono: aumenta di uno l'indice dell'esponente di $(-1)^n$, in modo da avere n+1, e mette il meno fuori in modo da invertire l'ordine che aveva invertito col +1 all'esponente, lasciando quindi tutto "intatto". E' un po contorto, spero si capisca
4. Qui invece mi blocco. Riporta a 1 l'indice della sommatoria ma non tocca ne il sopra ne il sotto, mentre mette un +1 dopo la sommatoria. Che cosa ha fatto?
Grazie a tutti ^_^
Risposte
Nel secondo cosa fa scusa?
$sum_(n=2)^(oo) ((-1)^(n+1)/(n+1) +1/2)$ ??
$sum_(n=2)^(oo) ((-1)^(n+1)/(n+1) +1/2)$ ??
E' una domanda o un suggerimento?
Spiegati meglio...
Spiegati meglio...
una domanda, cosa è stato fatto? Grazie!
Col +1 dopo la sommatoria annulla il primo termine della sommatoria, cioe' $(-1)^(2)/1+1$ fa 0, quindi rimane tutto invariato.
Crook, ti sbagli credo....
$(-1)^(2)/1+1$ fa 2 ... quindi credo che qualcosa vari...
$(-1)^(2)/1+1$ fa 2 ... quindi credo che qualcosa vari...
Ho dimenticato il meno della sommatoria davanti al primo termine. Cioe' $-(-1)^2/1+1$.
Come sempre, non ci arrivo da solo...
Al secondo passaggio che è stato fatto?
Diventa così perché:
$sum_(n=2)^(oo) ((-1)^((n-1)+1))/((n-1)+1)$ ????
Al secondo passaggio che è stato fatto?
Diventa così perché:
$sum_(n=2)^(oo) ((-1)^((n-1)+1))/((n-1)+1)$ ????
Perche' $(-1)^2/2+sum_(n=2)^infty(-1)^(n+1)/(n+1)=sum_(n=2)^infty(-1)^n/n$.
Si prima l'avevo sospettato. $1/2$ + la serie. Ok
Ma non mi spiego i cambiamenti degli indici nella serie finale (a DX).
Ci rinuncio, per me non è così facile.
Ma non mi spiego i cambiamenti degli indici nella serie finale (a DX).
Ci rinuncio, per me non è così facile.
Come ho detto prima, il primo termine ($n=1$) della sommatoria $-sum_(n=1)^infty(-1)^(n+1)/(n)$ si annulla col +1, percio' tutto torna come prima.
Ma il primo termine della sommatoria non dovrebbe essere 1/2? *confused*
Forse ho capito: mette +1 cosi risulta
0 , (-1/2 +1 = 1/2) ecc... ?? e resta tutto invariato (sempre ovviamente da invertire col - fuori) ?
Forse ho capito: mette +1 cosi risulta
0 , (-1/2 +1 = 1/2) ecc... ?? e resta tutto invariato (sempre ovviamente da invertire col - fuori) ?
Esattamente, il primo termine, che nella serie precedente non c'e', lo annulla col +1 nell'ultima.
"Crook":
Perche' $(-1)^2/2+sum_(n=2)^infty(-1)^(n+1)/(n+1)=sum_(n=2)^infty(-1)^n/n$.
Niente Crook lo so che ti farò inca... ma ancora non ci sono.
Che fine fa $1/2$? Pure il cambiamento degli apici. Boh. Giuro che ci provo ma niente.
Gli altri passaggi penso di averli capiti. Il cambiamento della partenza della serie non tanto.
Io so che:
quando aumento di 1 la partenza da $n=1$ a $n=2$ devo aggiungere il valore della serie in $n=1$
quando decremento di 1 la partenza da $n=2$ a $n=1$ devo togliere il valore della serie in $n=1$
Boh, che ignorante che sono!
Partiamo dall'inizio $sum_{n=1}^{+infty}(-1)^(n+1)/(n+1)$ e facciamo la sostituzione $m=n+1$. In tal modo
$n=1->m=2,n=infty->m=infty$ per cui
$sum_{n=1}^{+infty}(-1)^(n+1)/(n+1)=sum_{m=2}^{infty}((-1)^m)/m$
Ora $(-1)^m=-1*(-1)^(m+1)$ per cui
$sum_{m=2}^{infty}((-1)^m)/m=-sum_{m=2}^{infty}((-1)^(m+1))/m$
Ora facciamo partire la serie da $m=1$ togliendoci poi il termine corrispondente ad $m=1$: il termine corrispondente ad $m=1$ è $-1*(-1)^2/1=-1$ per cui
$-sum_{m=2}^{infty}((-1)^(m+1))/m=-sum_{m=1}^{infty}((-1)^(m+1))/m-(-1)=1-sum_{m=1}^{infty}((-1)^(m+1))/m=1-ln2$
$n=1->m=2,n=infty->m=infty$ per cui
$sum_{n=1}^{+infty}(-1)^(n+1)/(n+1)=sum_{m=2}^{infty}((-1)^m)/m$
Ora $(-1)^m=-1*(-1)^(m+1)$ per cui
$sum_{m=2}^{infty}((-1)^m)/m=-sum_{m=2}^{infty}((-1)^(m+1))/m$
Ora facciamo partire la serie da $m=1$ togliendoci poi il termine corrispondente ad $m=1$: il termine corrispondente ad $m=1$ è $-1*(-1)^2/1=-1$ per cui
$-sum_{m=2}^{infty}((-1)^(m+1))/m=-sum_{m=1}^{infty}((-1)^(m+1))/m-(-1)=1-sum_{m=1}^{infty}((-1)^(m+1))/m=1-ln2$
Ci sono quasi! Grande!
Solo questo non ho capito:
$(-1)^m=-1*(-1)^(m+1)$
e non dovrebbe diventare $(-1)^(m+2)$?
(Abbiate pazienza..)
Solo questo non ho capito:
$(-1)^m=-1*(-1)^(m+1)$
e non dovrebbe diventare $(-1)^(m+2)$?
(Abbiate pazienza..)
"Giova411":
Ci sono quasi! Grande!
Solo questo non ho capito:
$(-1)^m=-1*(-1)^(m+1)$
e non dovrebbe diventare $(-1)^(m+2)$?
(Abbiate pazienza..)
$(-1)^m=1*(-1)^m=(-1)*(-1)*(-1)^m=(-1)*(-1)^(m+1)$
Perfetto come sempre.
Grazie
Grazie
grazie mille a tutti
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