Passaggi per approssimare con Taylor in serie numerica
Salve a tutti, ho un esercizio svolto in cui mi viene chiesto di determinare per quali valori di $\alpha > 0$ la serie è convergente:
$\sum_{n=1}^oo ((arctg(1/n))/arctg(n))^\alpha * ln(1+1/(n^\alpha))$
Nella soluzione (qui, quarto esercizio) viene usata la formula di Taylor per approssimare arctg e ln, ma dato che non ho potuto seguire molte lezioni avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse i vari passaggi da fare per arrivarci. Ho trovato degli sviluppi in serie di Taylor su Wikipedia (qui) ma non ho ben capito come utilizzarli per arrivare all'approssimazione.
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
$\sum_{n=1}^oo ((arctg(1/n))/arctg(n))^\alpha * ln(1+1/(n^\alpha))$
Nella soluzione (qui, quarto esercizio) viene usata la formula di Taylor per approssimare arctg e ln, ma dato che non ho potuto seguire molte lezioni avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse i vari passaggi da fare per arrivarci. Ho trovato degli sviluppi in serie di Taylor su Wikipedia (qui) ma non ho ben capito come utilizzarli per arrivare all'approssimazione.
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
Risposte
"etuardu":dov'è che non hai capito?
Salve a tutti, ho un esercizio svolto in cui mi viene chiesto di determinare per quali valori di $\alpha > 0$ la serie è convergente:
$\sum_{n=1}^oo ((arctg(1/n))/arctg(n))^\alpha * ln(1+1/(n^\alpha))$
Nella soluzione (qui, quarto esercizio) viene usata la formula di Taylor per approssimare arctg e ln, ma dato che non ho potuto seguire molte lezioni avrei bisogno che qualcuno mi spiegasse i vari passaggi da fare per arrivarci. Ho trovato degli sviluppi in serie di Taylor su Wikipedia (qui) ma non ho ben capito come utilizzarli per arrivare all'approssimazione.
Grazie mille per l'eventuale aiuto!
Se ho ben capito, inizialmente dovrei usare lo sviluppo in serie di Taylor dell'arcotangente:
$arctg(x) = \sum_{n=1}^oo ((-1)^n)/(2n+1) x^(2n+1)$
e immagino di dover arrivare a dimostrare che $arctg(1/n) \sim 1/n$ come è riportato nella soluzione nel pdf (e poi fare altrettanto con l'altro arcotangente e il logaritmo)
quello che non ho capito è come eseguire i vari passaggi intermedi, cioè come si fa ad arrivare all'approssimazione partendo dallo sviluppo di Taylor.
Edoardo
$arctg(x) = \sum_{n=1}^oo ((-1)^n)/(2n+1) x^(2n+1)$
e immagino di dover arrivare a dimostrare che $arctg(1/n) \sim 1/n$ come è riportato nella soluzione nel pdf (e poi fare altrettanto con l'altro arcotangente e il logaritmo)
"raff5184":
dov'è che non hai capito?
quello che non ho capito è come eseguire i vari passaggi intermedi, cioè come si fa ad arrivare all'approssimazione partendo dallo sviluppo di Taylor.
Edoardo
"etuardu":
Se ho ben capito, inizialmente dovrei usare lo sviluppo in serie di Taylor dell'arcotangente:
$arctg(x) = \sum_{n=1}^oo ((-1)^n)/(2n+1) x^(2n+1)$
e immagino di dover arrivare a dimostrare che $arctg(1/n) \sim 1/n$ come è riportato nella soluzione nel pdf (e poi fare altrettanto con l'altro arcotangente e il logaritmo)
perfetto. Solo che la sommatoria è da 0 e non da 1
Nota che quella formula di sviluppo dell'arctg $arctg(x) = \sum_{n=0}^oo ((-1)^n)/(2n+1) x^(2n+1)$ è valida per |x|<1. Tu hai $arctg(1/n)$, dove la tua x è praticamente $1/n$; ora $n$ (n dell'esercizio non di wiki) va da 1 a $+oo$, e quindi $1/n$ risulta effettivamente minore di 1: puoi usare quella formula. Mentre non è valida per l'altro arcotg!!
Per non fare confusione tra la n del tuo esercizio e quella dello sviluppo in serie permettimi di riscrivere: $arctg($x$)$$ = \sum_{p=0}^oo ((-1)^p)/(2p+1) $x$^(2p+1)$; tu hai $arctg($$1/n$$)$$ per cui la formula è: $arctg(1/n) = \sum_{p=0}^oo ((-1)^p)/(2p+1) (1/n)^(2p+1)$
Quando ti dice per $n->+oo$ ottieni $arctg(1/n->0)$. Ora qui sinceramente ho un dubbio, cioè non so se bisogna studiare tutta la $\sum_{p=0}^oo ((-1)^p)/(2p+1) (x)^(2p+1)$ per $x->0$ o è sufficiente arrestare lo sviluppo di Taylor al primo termine. Nel secondo caso, e i risultati mi danno conferma (mi trovo anche per il log), significa prendere $\sum_{p=0}^oo ((-1)^p)/(2p+1) (1/n)^(2p+1)$ solo per $p=0$ (primo indice della serie). Dunque $arctg(1/n) = ((-1)^0)/(2*0+1) (1/n)^(2*0+1)=1/n$
In fondo anche quando hai $sinx$ e $x->0$ puoi "confondere" il seno con il suo argomento $(sin0)~=0$
Vediamo se mi danno conferma
però anche se fai $lim_(x->0)\sum_{p=0}^oo ((-1)^p)/(2p+1) (x)^(2p+1)$ ottieni lo stesso risultato. Aspettiamo conferma da più esperti
Come avete già detto sussistono gli sviluppi in serie di Taylor $arctanx=\sum_(n=0)^(+oo) (-1)^n/(2n+1) x^(2n+1)$ e $log(1+x)=\sum_(n=0)^(+oo)(-1)^n/(n+1)x^(n+1)$; inoltre è noto il Teorema di Taylor con il termine complementare nella forma di Peano che, in sostanza, afferma che troncando la serie di Taylor di una funzione $C^oo$ all'$n$-esimo termine si ottiene una "buona approssimazione" del valore della funzione intorno al centro dello sviluppo (nel senso che la differenza tra valore della funzione e valore dello sviluppo troncato è un infinitesimo d'ordine superiore ad $n$ per $x$ che tende al centro dello sviluppo; vedi qui).
In questo caso troncando al primo termine entrambe le serie ed applicando il Teorema di Taylor col resto di Peano troviamo:
$arctanx=x+o(x) quad$ e $quad log(1+x)=x+o(x)$
per $x to 0$; sostituendo $1/n$ ed $1/n^alpha$ al posto di $x$ trovi evidentemente:
$arctan(1/n)=1/n+o(1/n) quad$ e $quad log(1+1/n^alpha)=1/n^alpha+o(1/n^alpha)$
cosicché la successione $arctan(1/n)$ si comporta all'infinito (cioè par $n to +oo$) come la successione $1/n$ e, analogamente, la successione $log(1+1/n^alpha)$ si comporta come $1/n^alpha$: queste due relazioni si denotano con i simboli $arctan(1/n) \sim 1/n$ e $log(1+1/n^alpha) \sim 1/n^alpha$.
Dal fatto che $arctan(1/n) \sim 1/n$ trai che $(arctan(1/n))^alpha \sim (1/n)^alpha=1/n^alpha$.
Ora, visto che $lim_n arctan n=pi/2$ puoi scrivere:
$((arctan(1/n))/(arctan n))^alpha*log(1+1/n^alpha) =(arctan(1/n))^alpha/(arctan n)^alpha*log(1/n^alpha) \sim (2/pi)^alpha (arctan (1/n))^alpha *log(1+1/n^alpha) \sim (2/pi)^alpha*1/n^alpha*1/n^alpha=(2/pi)^alpha*1/n^(2alpha)$
come indicato sulla soluzione del compito.
Insomma la chiave di tutto il ragionamento è il Teorema di Taylor ed il fatto che esso è applicabile perchè $1/n to 0$.
In questo caso troncando al primo termine entrambe le serie ed applicando il Teorema di Taylor col resto di Peano troviamo:
$arctanx=x+o(x) quad$ e $quad log(1+x)=x+o(x)$
per $x to 0$; sostituendo $1/n$ ed $1/n^alpha$ al posto di $x$ trovi evidentemente:
$arctan(1/n)=1/n+o(1/n) quad$ e $quad log(1+1/n^alpha)=1/n^alpha+o(1/n^alpha)$
cosicché la successione $arctan(1/n)$ si comporta all'infinito (cioè par $n to +oo$) come la successione $1/n$ e, analogamente, la successione $log(1+1/n^alpha)$ si comporta come $1/n^alpha$: queste due relazioni si denotano con i simboli $arctan(1/n) \sim 1/n$ e $log(1+1/n^alpha) \sim 1/n^alpha$.
Dal fatto che $arctan(1/n) \sim 1/n$ trai che $(arctan(1/n))^alpha \sim (1/n)^alpha=1/n^alpha$.
Ora, visto che $lim_n arctan n=pi/2$ puoi scrivere:
$((arctan(1/n))/(arctan n))^alpha*log(1+1/n^alpha) =(arctan(1/n))^alpha/(arctan n)^alpha*log(1/n^alpha) \sim (2/pi)^alpha (arctan (1/n))^alpha *log(1+1/n^alpha) \sim (2/pi)^alpha*1/n^alpha*1/n^alpha=(2/pi)^alpha*1/n^(2alpha)$
come indicato sulla soluzione del compito.
Insomma la chiave di tutto il ragionamento è il Teorema di Taylor ed il fatto che esso è applicabile perchè $1/n to 0$.
grazie gugo82, quindi anche se non molto preciso il mio ragionamento almeno non era proprio sballato
Ora mi è tutto più chiaro, grazie a entrambi per il preziosissimo aiuto!
Ho solo un ultimo dubbio: una volta riscritta una funzione (es: $arctg(1/n)$) come sviluppo in serie di Taylor, in base a cosa decido che è sufficiente valutarne solo il primo termine? In quali casi è necessario calcolare anche il secondo, il terzo eccetera?
Ho solo un ultimo dubbio: una volta riscritta una funzione (es: $arctg(1/n)$) come sviluppo in serie di Taylor, in base a cosa decido che è sufficiente valutarne solo il primo termine? In quali casi è necessario calcolare anche il secondo, il terzo eccetera?
"etuardu":
Ora mi è tutto più chiaro, grazie a entrambi per il preziosissimo aiuto!
Ho solo un ultimo dubbio: una volta riscritta una funzione (es: $arctg(1/n)$) come sviluppo in serie di Taylor, in base a cosa decido che è sufficiente valutarne solo il primo termine? In quali casi è necessario calcolare anche il secondo, il terzo eccetera?
Beh, basta farci l'occhio.
Ad esempio, se avessi avuto al numeratore $arctan(1/n)-1/n$ al posto di $arctan(1/n)$, avresti dovuto troncare lo sviluppo di Taylor al secondo termine invece che al primo: infatti, troncando al primo avresti trovato $arctan(1/n)-1/n=o(1/n^3)$ che non è molto interessante, mentre troncando al scecondo troveresti $arctan(1/n)=1/n-1/3 1/n^3+o(1/n^5) quad => quad arctan(1/n)-1/n=-1/3 1/n^3 +o(1/n^5)$ che dà migliori informazioni sull'ordine d'infinitesimo di $arctan(1/n)-1/n$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo