Passaggi Limite.
considerato il seguente limite, $lim_(x to 0) ( (1)/(1-cosx)-(2)/(x^2))$ ;
eseguiamo il m.c.m per ricondurci ad una forma più appropriata ..... la forma $0/0$
e si ha quindi $lim_(x to 0) (x^2-2(1-cosx))/(x^2(1-cosx))$ applichiamo il noto teorema di de l'hopital ed abbiamo:
$lim_(x to 0) (2(x-senx))/(2x(1-cosx)+x^2senx)=$ deriviamo ancora e arriviamo ad $lim_(x to 0) (2(1-cosx))/(2(1-cosx)+4xsenx+x^2cosx)=$
Ora da quì in poi c'è un passaggio che non mi è chiaro; Praticamente nel testo si divide numeratore e denominatore per la funzione di grado massimo in questo caso $x^2$; che semplifica tutto il patatrac.
ed arriva a
$lim_(x to 0) [(2(1-cosx)/x^2)]/[(2(1-cosx)/(x^2)+(4)(senx)/(x^2)+cosx)]=$
Questo passaggio che ho trovato in parecchi esercizi, cioè l'ho applicato in maniera meccanica senza rifletterci....
Ma per quale criterio/regola/teorema.... arrivati al punto di prima dovremmo dividere per $x^2$ numeratore e denominatore?
grazie dell'attenzione.
Cordiali Saluti.
eseguiamo il m.c.m per ricondurci ad una forma più appropriata ..... la forma $0/0$
e si ha quindi $lim_(x to 0) (x^2-2(1-cosx))/(x^2(1-cosx))$ applichiamo il noto teorema di de l'hopital ed abbiamo:
$lim_(x to 0) (2(x-senx))/(2x(1-cosx)+x^2senx)=$ deriviamo ancora e arriviamo ad $lim_(x to 0) (2(1-cosx))/(2(1-cosx)+4xsenx+x^2cosx)=$
Ora da quì in poi c'è un passaggio che non mi è chiaro; Praticamente nel testo si divide numeratore e denominatore per la funzione di grado massimo in questo caso $x^2$; che semplifica tutto il patatrac.
ed arriva a
$lim_(x to 0) [(2(1-cosx)/x^2)]/[(2(1-cosx)/(x^2)+(4)(senx)/(x^2)+cosx)]=$
Questo passaggio che ho trovato in parecchi esercizi, cioè l'ho applicato in maniera meccanica senza rifletterci....
Ma per quale criterio/regola/teorema.... arrivati al punto di prima dovremmo dividere per $x^2$ numeratore e denominatore?
grazie dell'attenzione.
Cordiali Saluti.
Risposte
Lo si fa perchè così è possibile applicare due limiti notevoli noti che eliminano la forma di indeterminazione.
è possibile farlo perche dividendo per una quantità non nulla numeratore e denominatore di una frazione non si modifica il suo valore.
è possibile farlo perche dividendo per una quantità non nulla numeratore e denominatore di una frazione non si modifica il suo valore.
"Relegal":
Lo si fa perchè così è possibile applicare due limiti notevoli noti che eliminano la forma di indeterminazione.
è possibile farlo perche dividendo per una quantità non nulla numeratore e denominatore di una frazione non si modifica il suo valore.
capito;
Sempre per restare in topic, volevo mostrare un altro esempio
$lim_(x to 0) (logx)/x^-a -> lim_(x to 0) (1/x)/(-ax^(-a-1))=$
$ lim_(x to 0) 1/-a x^a=0$ <----come arriva quì ??.... con la doppia frazione, e l'esponente negativo mi sono un pò confuso.
$(1/x)/(-ax^(-a-1))=1/-a x^a=0$
è questa uguaglianza il tuo problema giusto?
allora si fa un passo per volta ovviamente:
$(1/x)/(-ax^(-a-1))=1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*1/x)=1/(-a)*(x^(-a-1+1))=1/(-a)*1/(x^(-a))=1/(-a)*x^a$
chiaro?
è questa uguaglianza il tuo problema giusto?
allora si fa un passo per volta ovviamente:
$(1/x)/(-ax^(-a-1))=1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*1/x)=1/(-a)*(x^(-a-1+1))=1/(-a)*1/(x^(-a))=1/(-a)*x^a$
chiaro?
"blackbishop13":
$(1/x)/(-ax^(-a-1))=1/-a x^a=0$
è questa uguaglianza il tuo problema giusto?
allora si fa un passo per volta ovviamente:
$(1/x)/(-ax^(-a-1))=1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*1/x)=1/(-a)*(x^(-a-1+1))=1/(-a)*1/(x^(-a))=1/(-a)*x^a$
chiaro?
grazie chiarissimo Black, ma se dovrei farlo solo in un esercizio un passaggio simile, sicuramente farei degli errorini...
dato che non so il criterio "teorico" di procedimento.....
mi resta solamente di far esercizi a valle per imparare questi passaggi ..........
"mat100":
grazie chiarissimo Black, ma se dovrei farlo solo in un esercizio un passaggio simile, sicuramente farei degli errorini...
dato che non so il criterio "teorico" di procedimento.....
a parte gli errorini di grammatica
, che si possono facilmente eliminare,quelli di conto non sono un grosso problema, pazienza capitano,
e dal punto di vista teorico non c'è nulla di eccezionale, cosa non ti è chiaro?
"blackbishop13":
[quote="mat100"]
grazie chiarissimo Black, ma se dovreifarlo solo in un esercizio un passaggio simile, sicuramente farei degli errorini...
dato che non so il criterio "teorico" di procedimento.....
a parte gli errorini di grammatica
, che si possono facilmente eliminare,quelli di conto non sono un grosso problema, pazienza capitano,
e dal punto di vista teorico non c'è nulla di eccezionale, cosa non ti è chiaro?[/quote]
XD mhahuhauah!
partiamo dall'inizio $1/x$ al numeratore, scompare e viene messo in evidenza prima della frazione_ questo diciamo mi è chiaro.
nel secondo passaggio?... $1/x$ spunta al denominatore , e quello di prima diventa $1/-a$....
???????
eh lo credo che non ti torna, ho fatto un errore!! cioè ho scritto una cosa che doveva essere un'altra,ovvero
$1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*1/x)$
questo è chiaramente falso!!
invece è $1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*x)$
adesso dovrebbe essere semplice da capire
$1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*1/x)$
questo è chiaramente falso!!
invece è $1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*x)$
adesso dovrebbe essere semplice da capire
"blackbishop13":
eh lo credo che non ti torna, ho fatto un errore!! cioè ho scritto una cosa che doveva essere un'altra,ovvero
$1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*1/x)$
questo è chiaramente falso!!
invece è $1/x*1/(-a*(x^(-a-1)))=1/(-a)*1/(x^(-a-1)*x)$
adesso dovrebbe essere semplice da capire
già così è più semplice.
figurati
non ti preoccupare Black, anzi ti ringrazio della collaborazione....
ecco adesso dovremmo semplicemente capireperchè $1/x$ muta in $1/a$ e la $x$ passa all'esponente...
......
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