Passaggi limite.
Buongiorno e buon inizio settimana,
ho il seguente limite $lim_(x to 0) ((log(1+x))^2-(log(1+senx))^2)/(x(x-senx))$, il cui risultato è $2$.
Mi trovo con il risultato vi volevo chiedere se i passaggi che faccio sono corretti, questo è il mio modo:
il numeratore $(log(1+x))^2-(log(1+senx))^2$ per il confronto asintotico ottengo:
$x to 0 , log(1+x) approx x$ allora $(log(1+x))^2 approx x^2$.
Invece per $(log(1+senx))^2$ ci troviamo nella situazione del tipo $(log(1+g(x)))$, con $g(x)=senx$
$g(x)=0$ quando $x to 0$ per cui possiamo applicare il confronto asintotico, ed ho :
$ x to 0, log(1+senx) approx x$ allora $(log(1+senx))^2 approx sen^2x$
ne segue che il numeratore risulta
$x^2-sen^2x=(x-senx)(x+senx)$.
$lim_(x to 0) ((x-senx)(x+senx))/(x(x-senx))=lim_(x to 0) ((x+senx))/(x)=lim_(x to 0) 1+(senx)/(x)=2$
E' corretta l'impostazione della risoluzione
Grazie
ho il seguente limite $lim_(x to 0) ((log(1+x))^2-(log(1+senx))^2)/(x(x-senx))$, il cui risultato è $2$.
Mi trovo con il risultato vi volevo chiedere se i passaggi che faccio sono corretti, questo è il mio modo:
il numeratore $(log(1+x))^2-(log(1+senx))^2$ per il confronto asintotico ottengo:
$x to 0 , log(1+x) approx x$ allora $(log(1+x))^2 approx x^2$.
Invece per $(log(1+senx))^2$ ci troviamo nella situazione del tipo $(log(1+g(x)))$, con $g(x)=senx$
$g(x)=0$ quando $x to 0$ per cui possiamo applicare il confronto asintotico, ed ho :
$ x to 0, log(1+senx) approx x$ allora $(log(1+senx))^2 approx sen^2x$
ne segue che il numeratore risulta
$x^2-sen^2x=(x-senx)(x+senx)$.
$lim_(x to 0) ((x-senx)(x+senx))/(x(x-senx))=lim_(x to 0) ((x+senx))/(x)=lim_(x to 0) 1+(senx)/(x)=2$
E' corretta l'impostazione della risoluzione
Grazie
Risposte
Oltre ad un errore dovuto ad un mero copia e incolla, sei stato perfetto
Ciao, grazie x la risp.
scusami mi potresti indicare dove è l'errore che ho commesso, la tua interpretazione (copia-incolla), potrebbe essere per me un normale passaggio.
Ciao
scusami mi potresti indicare dove è l'errore che ho commesso, la tua interpretazione (copia-incolla), potrebbe essere per me un normale passaggio.
Ciao
Ciao.
Io faccio 'Bettina contrariosa' e non sono d'accordo
Non si possono sostituire i confronti asintotici in somme e sottrazioni(a meno di usare gli sviluppi)
$log^2(x+1)-log^2(1+sinx)=[log(x+1)-log(1+sinx)]*[log(x+1)+log(1+sinx)]$
da cui $log((1+x)/(1+sinx))*log(1+xsinx+sinx+x)$
ora $xsinx+sinx+x -> 0$ per $x->0$ q
$(1+x)/(1+sinx)=1+(x-sinx)/(1+sinx)$ con $(x-sinx)/(1+sinx)->0$ per $x->0$
in questo caso i prodotti li possiamo sostituire nei limiti e otteniamo
$lim_(x->0)((x-sinx)/(1+sinx)*(x(sinx+1)+sinx))/(x(x-sinx))=lim_(x->0)(x(sinx+1)+sinx)/(x(1+sinx))$
$lim_(x->0) [1+(sinx)/x*1/(1+sinx)]=2$
Io faccio 'Bettina contrariosa' e non sono d'accordo
Non si possono sostituire i confronti asintotici in somme e sottrazioni(a meno di usare gli sviluppi)
$log^2(x+1)-log^2(1+sinx)=[log(x+1)-log(1+sinx)]*[log(x+1)+log(1+sinx)]$
da cui $log((1+x)/(1+sinx))*log(1+xsinx+sinx+x)$
ora $xsinx+sinx+x -> 0$ per $x->0$ q
$(1+x)/(1+sinx)=1+(x-sinx)/(1+sinx)$ con $(x-sinx)/(1+sinx)->0$ per $x->0$
in questo caso i prodotti li possiamo sostituire nei limiti e otteniamo
$lim_(x->0)((x-sinx)/(1+sinx)*(x(sinx+1)+sinx))/(x(x-sinx))=lim_(x->0)(x(sinx+1)+sinx)/(x(1+sinx))$
$lim_(x->0) [1+(sinx)/x*1/(1+sinx)]=2$
Hey anto_zoolander
grazie come sempre per la risposta.
Perchè non posso usare nelle somme e differenze ( a meno degli sviluppi ) ?
Vorrei chiarire una volta per tutte queste mie lacune, su come e quando usare i diversi metodi per eliminare la forma di indecisione che si presenta.
Ora su internet c'è un topic, che dici quando e come usare.
E' possibile postare il link ?
grazie come sempre per la risposta.
Perchè non posso usare nelle somme e differenze ( a meno degli sviluppi ) ?
Vorrei chiarire una volta per tutte queste mie lacune, su come e quando usare i diversi metodi per eliminare la forma di indecisione che si presenta.
Ora su internet c'è un topic, che dici quando e come usare.
E' possibile postare il link ?
Certo basta che scrivi
Per esempio click
In sostanza quello che fai è di sfruttare l’algebra dei limiti sul prodotto, ovvero le sostituzioni sui prodotti sono legate al fatto che il prodotto di limiti di funzioni, se esiste, coincide con il prodotto dei limiti di ciascuna delle due.
Non puoi considerare di fare il limite al numeratore e poi fare il limite tra quanto ottenuto al numeratore e considerare il denominatore.
Vorrei scrivere qualcosa in più per esssere chiaro ma al momento sono a rinnovare la patente
Per esempio click
In sostanza quello che fai è di sfruttare l’algebra dei limiti sul prodotto, ovvero le sostituzioni sui prodotti sono legate al fatto che il prodotto di limiti di funzioni, se esiste, coincide con il prodotto dei limiti di ciascuna delle due.
Non puoi considerare di fare il limite al numeratore e poi fare il limite tra quanto ottenuto al numeratore e considerare il denominatore.
Vorrei scrivere qualcosa in più per esssere chiaro ma al momento sono a rinnovare la patente
"anto_zoolander":ahahahha Grande
Vorrei scrivere qualcosa in più ma al momento sono a rinnovare la patente
http://www.****.it/lezioni/analisi-matematica/limiti-continuita-e-asintoti/143-limiti-notevoli-come-si-usano.html
http://www.****.it/forum/analisi-1/71995-equivalenze-asintotiche-oppure-o-piccoli-con-somme-e-differenze.html
"anto_zoolander":
Io faccio 'Bettina contrariosa' e non sono d'accordo
LOL
Però la Bettina era talmente impegnata con la patente....
"anto_zoolander":
Non si possono sostituire i confronti asintotici in somme e sottrazioni(a meno di usare gli sviluppi)
...da dimenticarsi che il limite è un operatore lineare
In pratica Galles90, prima di operare le sostituzioni, ha implicitamente preso il limite e l'ha trasformato in:
$lim_(x to 0) [log(1+x)log(1+x)]/(x(x-senx))$ - $lim_(x to 0) [log(1+senx)log(1+senx)]/(x(x-senx))$
Una forma che Anto certamente approva .
Poi ha riaccorpato il limite, semplificato ed et voilà.
Comunque Betitna ha ragione nel dire di stare attenti!
@bokonon
il problema è che spesso un qualcosa che tu vedi come sottinteso, per qualcun altro, è un passaggio normale che riproduce sempre ed è meglio togliere questa abitudine.
Sul limite della somma, non ci sono problemi, il problema è quando hai un limite del tipo
questo è corretto nelle ipotesi in cui esistano i limiti di $f,g,h$ in quanto si spezzano tutti i limiti.
Però in genere è scorretto sostituire i limiti in una somma e poi riaccorpare tutto il limite.
@Galles
In sostanza l’unica utilità delle equivalenze asintotiche è quella di semplificare la espressione di un limite che si ha sottomano.
Prendiamo per esempio quattro funzioni $f_1,f_2,g_1,g_2:J->RR$ con $x_0$ di accumulazione per $J$ e le funzioni $f_2,g_1,g_2$ non nulle in almeno un intorno di $x_0$[nota]il motivo per cui deve essere vera questa affermazione è data dal fatto che se in ogni intorno del punto la funzione si annullasse allora con buona probabilità il limite in quel punto non esiste. Considera la funzione [size=80]$f(x)=sin(1/x)$[/size].
In genere sappiamo che nelle ipotesi in cui una funzione sia non nulla in almeno un intorno del punto, il limite del reciproco è uguale al reciproco del limite(se non nullo)[/nota] allora
Se supponiamo che $f_1 approx_(x_0) f_2$ e $g_1 approx_(x_0)g_2$ e il limite tra $f_2,g_2$ esista, possiamo sfruttare il prodotto dei limiti di funzioni poiché
Quindi abbiamo staccato il limite di un prodotto, nel prodotto di limiti che ci consente di dire, visto che esistono tutti e tre i limiti
[size=80]
Esempio
Dimostriamo il limite notevole [size=80]$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$[/size]
[size=80]
Il primo fattore ha limite $1$ il secondo fattore ha limite $1/2$ e quindi per l’algebra dei limiti il prodotto dei limiti sarà uguale al limite del prodotto ovvero $l=1/2$
L’unica utilità delle equivalenze asintotiche è quello di essere appunto una relazione di equivalenza dove le funzioni in relazione sono tutte quelle il cui limite del rapporto è $1$. Di fatto puoi mostrare che goda delle proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.
Un’altra conseguenza delle equivalenze asintotiche è data dal fatto che se due funzioni $f,g:J->RR$ dove $g$ è non nulla in almeno un intorno di $x_0$ e $x_0$ di accumulazione per $J$
queste cose noi le usiamo, in sostanza, quando abbiamo a che fare con i prodotti, per il fatto che vale quanto mostrato sopra. Infatti prendendo il limite da te proposto tutti i passaggi da fare(senza sottintendere) sono i seguenti:
[size=80]
ora nell'ipotesi in cui il terzo fattore ammetta limite il limite del prodotto si spezza nel prodotto dei limiti perchè i primi due sappiamo esistere. Quindi i primi due esistono e ci calcoliamo il terzo che, se esiste, ci permette di dire che tutto il limite coincide con il limite del terzo fattore in quanto viene
che nell'ipotesi in cui il terzo esista significa dire che tutto coincide con
quindi è bene tenere a mente che l'utilizzo delle relazioni asintotiche è strettamente legato all'algebra dei limiti e viene utilizzato proprio tenendo bene a mente tale 'algebra'.
in poche parole in un prodotto possiamo sostituire brutalmente, nelle giuste ipotesi, le espressioni asintotiche.
Questo è ben diverso dalla relazione di 'o-piccolo'.
Tale relazione di fatto è una uguaglianza tra funzioni in quanto si chiede la seguente cosa
date $f,g:J->RR$ con $x_0$ di accumulazione per $J$ e $g$ si dice che
chiaramente si può anche chiedere soltanto che tale uguaglianza valga in almeno un intorno bucato di $x_0$
con abuso di notazione si può porre [size=80]$f(x)=g(x)omega(x)=o(g(x)),x->x_0$[/size] sottintendendone il significato.
molto spesso quando la funzione $g$ è non nulla in almeno un intorno del punto in questione l'espressione è equivalente al dire che
infatti ci si riduce a [size=80]$f(x)=g(x)*(f(x))/(g(x))$[/size]
un altro abuso è nel considerare [size=80]$lim_(x->x_0)(o(g(x)))/(g(x))=0$[/size] sempre giustificato.
valendo l'uguaglianza sono espressioni che si possono sostituire nei limiti brutalmente per cercare di ottenere qualcosa di più familiare, per esempio prendiamo questo limite
[size=80]
se invece avessimo sostituito a $sinx$ l'espressione asintotica $x$ avremmo ottenuto $0$ sbagliando.
Infine ti invito a notare che se [size=80]$f approx_(x_0)g$[/size] allora [size=80]$f-g in o_(x_0)(g)$[/size]
[size=80]
questo significa che le equivalenze asintotiche altro non sono che approssimazioni al primo ordine
[size=80]
e questo dovrebbe essere sufficiente per farti un'idea.
il problema è che spesso un qualcosa che tu vedi come sottinteso, per qualcun altro, è un passaggio normale che riproduce sempre ed è meglio togliere questa abitudine.
Sul limite della somma, non ci sono problemi, il problema è quando hai un limite del tipo
$lim_(x->x_0)(f(x)+g(x))/(h(x))=(lim_(x->x_0)f(x)+lim_(x->x_0)g(x))/(lim_(x->x_0)h(x))$
questo è corretto nelle ipotesi in cui esistano i limiti di $f,g,h$ in quanto si spezzano tutti i limiti.
Però in genere è scorretto sostituire i limiti in una somma e poi riaccorpare tutto il limite.
@Galles
In sostanza l’unica utilità delle equivalenze asintotiche è quella di semplificare la espressione di un limite che si ha sottomano.
Prendiamo per esempio quattro funzioni $f_1,f_2,g_1,g_2:J->RR$ con $x_0$ di accumulazione per $J$ e le funzioni $f_2,g_1,g_2$ non nulle in almeno un intorno di $x_0$[nota]il motivo per cui deve essere vera questa affermazione è data dal fatto che se in ogni intorno del punto la funzione si annullasse allora con buona probabilità il limite in quel punto non esiste. Considera la funzione [size=80]$f(x)=sin(1/x)$[/size].
In genere sappiamo che nelle ipotesi in cui una funzione sia non nulla in almeno un intorno del punto, il limite del reciproco è uguale al reciproco del limite(se non nullo)[/nota] allora
[size=80]$lim_(x->x_0)(f_1(x))/(g_1(x))=lim_(x->x_0)(f_1(x))/(f_2(x))*(f_2(x))/(g_2(x))*(g_2(x))/(g_1(x))$[/size]
Se supponiamo che $f_1 approx_(x_0) f_2$ e $g_1 approx_(x_0)g_2$ e il limite tra $f_2,g_2$ esista, possiamo sfruttare il prodotto dei limiti di funzioni poiché
[size=80]$lim_(x->x_0)(f_1(x))/(f_2(x))*(f_2(x))/(g_2(x))*(g_2(x))/(g_1(x))=lim_(x->x_0)(f_1(x))/(f_2(x))*lim_(x->x_0)(f_2(x))/(g_2(x))*lim_(x->x_0)(g_2(x))/(g_1(x))$[/size]
Quindi abbiamo staccato il limite di un prodotto, nel prodotto di limiti che ci consente di dire, visto che esistono tutti e tre i limiti
[size=80]
$lim_(x->x_0)(f_1(x))/(f_2(x))*lim_(x->x_0)(f_2(x))/(g_2(x))*lim_(x->x_0)(g_2(x))/(g_1(x))=1*lim_(x->x_0)(f_2(x))/(g_2(x))*1$
[/size]Esempio
Dimostriamo il limite notevole [size=80]$lim_(x->0)(1-cosx)/x^2=1/2$[/size]
[size=80]
$(1-cosx)/x^2=((1-cosx)(1+cosx))/(x^2(1+cosx))=sin^2x/x^2*1/(1+cosx)=(sinx/x)^2*1/(1+cosx)$
[/size]Il primo fattore ha limite $1$ il secondo fattore ha limite $1/2$ e quindi per l’algebra dei limiti il prodotto dei limiti sarà uguale al limite del prodotto ovvero $l=1/2$
L’unica utilità delle equivalenze asintotiche è quello di essere appunto una relazione di equivalenza dove le funzioni in relazione sono tutte quelle il cui limite del rapporto è $1$. Di fatto puoi mostrare che goda delle proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva.
Un’altra conseguenza delle equivalenze asintotiche è data dal fatto che se due funzioni $f,g:J->RR$ dove $g$ è non nulla in almeno un intorno di $x_0$ e $x_0$ di accumulazione per $J$
[size=80]$existsL in RRsetminus{0}:lim_(x->x_0)(f(x))/(g(x))=L => fapprox_(x_0)L*g$ infatti $(f(x))/(L*g(x))->1$[/size]
queste cose noi le usiamo, in sostanza, quando abbiamo a che fare con i prodotti, per il fatto che vale quanto mostrato sopra. Infatti prendendo il limite da te proposto tutti i passaggi da fare(senza sottintendere) sono i seguenti:
[size=80]
$lim_(x->0)(log^2(1+x)-log^2(1+sinx))/(x-sinx)=lim_(x->0)(log(1+xsinx+x+sinx)*log(1+(x-sinx)/(1+sinx)))/(x(x-sinx))$
$lim_(x->0)[log(1+xsinx+x+sinx)/(xsinx+x+sinx)*log(1+(x-sinx)/(1+sinx))/((x-sinx)/(1+sinx))*((xsinx+x+sinx)(x-sinx)/(1+sinx))/(x(x-sinx))]$
[/size]$lim_(x->0)[log(1+xsinx+x+sinx)/(xsinx+x+sinx)*log(1+(x-sinx)/(1+sinx))/((x-sinx)/(1+sinx))*((xsinx+x+sinx)(x-sinx)/(1+sinx))/(x(x-sinx))]$
ora nell'ipotesi in cui il terzo fattore ammetta limite il limite del prodotto si spezza nel prodotto dei limiti perchè i primi due sappiamo esistere. Quindi i primi due esistono e ci calcoliamo il terzo che, se esiste, ci permette di dire che tutto il limite coincide con il limite del terzo fattore in quanto viene
[size=80]$lim_(x->0)log(1+xsinx+x+sinx)/(xsinx+x+sinx)*lim_(x->0)log(1+(x-sinx)/(1+sinx))/((x-sinx)/(1+sinx))*lim_(x->0)((xsinx+x+sinx)(x-sinx)/(1+sinx))/(x(x-sinx))$[/size]
che nell'ipotesi in cui il terzo esista significa dire che tutto coincide con
[size=80]$1*1*lim_(x->0)((xsinx+x+sinx)(x-sinx)/(1+sinx))/(x(x-sinx))=2$[/size]
quindi è bene tenere a mente che l'utilizzo delle relazioni asintotiche è strettamente legato all'algebra dei limiti e viene utilizzato proprio tenendo bene a mente tale 'algebra'.
in poche parole in un prodotto possiamo sostituire brutalmente, nelle giuste ipotesi, le espressioni asintotiche.
Questo è ben diverso dalla relazione di 'o-piccolo'.
Tale relazione di fatto è una uguaglianza tra funzioni in quanto si chiede la seguente cosa
date $f,g:J->RR$ con $x_0$ di accumulazione per $J$ e $g$ si dice che
[size=80]$ f in o_(x_0)(g) <=> existsomega:J->RR, lim_(x->x_0)omega(x)=0 : f(x)=omega(x)g(x), forallx in Jsetminus{x_0}$
[/size]chiaramente si può anche chiedere soltanto che tale uguaglianza valga in almeno un intorno bucato di $x_0$
con abuso di notazione si può porre [size=80]$f(x)=g(x)omega(x)=o(g(x)),x->x_0$[/size] sottintendendone il significato.
molto spesso quando la funzione $g$ è non nulla in almeno un intorno del punto in questione l'espressione è equivalente al dire che
[size=80]$omega(x)=(f(x))/(g(x))$ ovvero $lim_(x->x_0)(f(x))/(g(x))=0$[/size]
infatti ci si riduce a [size=80]$f(x)=g(x)*(f(x))/(g(x))$[/size]
un altro abuso è nel considerare [size=80]$lim_(x->x_0)(o(g(x)))/(g(x))=0$[/size] sempre giustificato.
valendo l'uguaglianza sono espressioni che si possono sostituire nei limiti brutalmente per cercare di ottenere qualcosa di più familiare, per esempio prendiamo questo limite
[size=80]
$lim_(x->0)(sinx-x+2x^5)/(3x^3)$
$sinx=x-x^3/(3!)+o(x^3)$
$lim_(x->0)(x-x^3/(3!)+o(x^3)+x+2x^5)/(3x^3)=lim_(x->0)[2/3x^2+1/3(o(x^3))/(x^3)-1/(3*3!)]=-1/(18)$[/size]
$sinx=x-x^3/(3!)+o(x^3)$
$lim_(x->0)(x-x^3/(3!)+o(x^3)+x+2x^5)/(3x^3)=lim_(x->0)[2/3x^2+1/3(o(x^3))/(x^3)-1/(3*3!)]=-1/(18)$[/size]
se invece avessimo sostituito a $sinx$ l'espressione asintotica $x$ avremmo ottenuto $0$ sbagliando.
Infine ti invito a notare che se [size=80]$f approx_(x_0)g$[/size] allora [size=80]$f-g in o_(x_0)(g)$[/size]
[size=80]
$lim_(x->x_0)(f(x)-g(x))/(g(x))=lim_(x->x_0)[(f(x))/(g(x))-1]=0$
[/size]questo significa che le equivalenze asintotiche altro non sono che approssimazioni al primo ordine
[size=80]
$f(x)=g(x)+o(g(x)),x->x_0$
[/size]e questo dovrebbe essere sufficiente per farti un'idea.
"anto_zoolander":
@bokonon
il problema è che spesso un qualcosa che tu vedi come sottinteso, per qualcun altro, è un passaggio normale che riproduce sempre ed è meglio togliere questa abitudine.
Verissimo. Non scherzavo quando dicevo che occorre prestare attenzione.
La spiegazione tecnica ci hai dato è da ovazione. Chapeu!
Non sarei mai stato in grado di scrivere un post del genere, andrebbe messo in rilievo da qualche parte nel forum.
Figurati, ti ringrazio per il complimento e sopratutto spero che ti sia di aiuto!
Anto ha ragione, anche se il post chilometrico che ha scritto io non posso proprio leggerlo. Sul discorso "equivalenza asintotica nelle somme", proprio di recente sono spuntati degli esempi sul forum di come sia una operazione errata:
viewtopic.php?p=8347788#p8347788
In generale, il concetto di "equivalenza asintotica" non è il massimo, perché presta il fianco a errori marchiani. Condivido l'opinione di pilloeffe:
viewtopic.php?p=8347542#p8347542
viewtopic.php?p=8347788#p8347788
In generale, il concetto di "equivalenza asintotica" non è il massimo, perché presta il fianco a errori marchiani. Condivido l'opinione di pilloeffe:
viewtopic.php?p=8347542#p8347542
Buonasera,
vi rispondo solo ora perchè ho avuto problemi con internet. Comunque grazie ad entrambi, anto_zoolander sempre molto esaustivo grazie.
Voglio rileggermeli con calma i precedenti messaggi, anche i topic che ha pubblicato dissonance, cosi pian piano riesco a colmare queste lacune.
Buona serata
vi rispondo solo ora perchè ho avuto problemi con internet. Comunque grazie ad entrambi, anto_zoolander sempre molto esaustivo
grazie. Voglio rileggermeli con calma i precedenti messaggi, anche i topic che ha pubblicato dissonance, cosi pian piano riesco a colmare queste lacune.
Buona serata
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