Passaggi esatti di due limiti

[marcook1]

Salve ragazzi, chiedo aiuto per due limiti perchè ho bisogno dei passaggi esatti per risolverli. Io li ho risolti con le coordinate polari e per me è di fondamentale importanza sapere esattamente lo svolgimento (visto che facevano parte dello scritto e il prof me li chiederà all'orale). Il primo mi sembra che mi veniva $0$ ed il secondo $+oo$, non scrivo i passaggi formali che ho fatto sul testo di esame perchè non avrebbe senso(è proprio quello che chiedo,comunque se interessano le posterò ).
I limiti dovrebbero essere semplici:

$lim_(x,y->1,0)((x-1)^2+2y^2)/(|x-1|+y^2)$
Come ho fatto io: ho effettuato la sostituzione in coordinate polari $\{(x=1+rho cos theta),(y=rho sin theta):}$ con $rho\rightarrow0$ ed alla fine mi veniva che il limite è 0


$lim_(x^2+y^2->+infty)(x^2+y^4-4x+y^3)$
Come ho fatto io: ho effettuato la sostituzione in coordinate polari $\{(x=rho cos theta),(y=rho sin theta):}$ con $rho\rightarrow+infty$ ed alla fine mi veniva che il limite è $+infty$

Grazie mille a chi mi aiuterà

[enr87]

a quanto ne so io devi poi fare la verifica, che consiste solitamente nel cercare maggiorazioni. il risultato dei limiti mi sembra corretto ad occhio

[marcook1]

"enr87":a quanto ne so io devi poi fare la verifica, che consiste solitamente nel cercare maggiorazioni. il risultato dei limiti mi sembra corretto ad occhio

Eh io vorrei proprio vedere i passaggi perchè non ne sono sicurissimo

Per il primo non credo servano dimostrazioni particolari, perchè con la sostituzione $rho\rightarrow0$ per ogni valore di teta e quindi il limite dovrebbe fare 0.

Per il secondo si vede ad occhio, però non so bene come dimostrarlo(e farlo vedere al prof) senza ombra di dubbio!

[enr87]

hai capito cosa volevo dire. più nello specifico: detta $f(x,y) = g(rho)$ (in coordinate polari), $lim_{rho to 0} g(rho) = l$ se e solo se $ Sup_{theta in [0, 2 pi]} |g(rho) - l| = 0$ per $rho to 0$

per il secondo ci penso un attimo, effettivamente non sembra così immediato farlo vedere

edit: credo si debba fare sempre la stessa verifica come nel primo (modificata opportunamente visto che rho tende a infinito)..

[marcook1]

Allora avrei fatto così, vediamo se mi bastoni oppure no

$lim_(x,y->1,0)((x-1)^2+2y^2)/(|x-1|+y^2)$ $=$ $lim_(rho->0)((rho +rho(sin theta)^2))/(cos theta +rho^2 sin theta)$ $=$ $0/cos theta$$=0$

0 potrebbe essere il limite ma va verificato $ Sup_{theta in [0, 2 pi]} |g(rho) - l| = 0$ per $rho to 0$
$ Sup_{theta in [0, 2 pi]} |(rho +rho(sin theta)^2)/(cos theta +rho^2 sin theta) - 0| = 0$ per $rho to 0$ $=>$ il limite è 0

_________________________________________________

$lim_(x^2+y^2->+infty)(x^2+y^4-4x+y^3)$

Minorando la funzione nel limite dopo aver fatto la sostituzione in coordinate polari si ottiente:

$(x^2+y^4-4x+y^3)$$=$$rho^2 (costheta)^2+rho^4 (sintheta)^4 -4rho cos theta + rho^3 (sin theta)^3 >= rho^2(-1)^2 +rho^4(-1)^4 +4rho + rho^3 (-1)^3 = rho^4-rho^3+rho^2+4rho$

Quest'ultima uguaglianza $-> + oo => $ $lim_(x^2+y^2->+infty)(x^2+y^4-4x+y^3) = + oo$

Ho scartabellato dei vecchi appunti di un professore che avevo (della mia stessa università che insegnava per lo stesso esame dello stesso corso) e per dimostrare questo tipo di limite fa così....che ne dici???

[enr87]

il primo mi sembra che non sia corretto, il cambiamento di variabili funziona così:


$lim_{(x,y)->(1,0)} ((x-1)^2+2y^2)/(|x-1|+y^2) = lim_{rho to 0^+}((rho cos(theta))^2 + 2(rho sin(theta))^2) / ( rho |cos(theta)| + rho^2(sin(theta))^2) $
si vede che per $theta$ diverso da $pi/2$ va a 0 perchè il numeratore è un infinitesimo di ordine 2, mentre il denominatore di ordine 1. ora dobbiamo però verificare questo caso col metodo che ti ho detto sopra (nel seguito sottintendo che $theta$ è diverso da $pi/2$:

cerchiamo quindi $ Sup_{theta in [0,2pi]} |((rho cos(theta))^2 + 2(rho sin(theta))^2) / ( rho |cos(theta)| + rho^2(sin(theta))^2) - 0| $

al numeratore puoi notare che $(rho cos(theta))^2 + 2(rho sin(theta))^2) <= 2 rho^2$
per il denominatore, invece $ ( rho |cos(theta)| + rho^2(sin(theta))^2) >= rho |cos(theta)| $ dove puoi porre $ 0 < alpha = |cos(theta)| <= 1 $.

quindi hai $ Sup_{theta in [0,2pi]} | ((rho cos(theta))^2 + 2(rho sin(theta))^2) / ( rho |cos(theta)| + rho^2(sin(theta))^2)| = |2rho^2 / (rho alpha)| $. ovviamente per $rho$ opportunamente piccolo, posto $ g(rho) = | ((rho cos(theta))^2 + 2(rho sin(theta))^2) / ( rho |cos(theta)| + rho^2(sin(theta))^2) - 0|$, ottieni che $lim_{rho to 0^+}Sup_{theta in [0,2pi]}|g(rho)| = 0 $ e dunque il limite di partenza vale proprio 0. resta il caso per $ theta = pi/2 $ che lascio a te.

questo è un metodo che ho imparato ad analisi 2, non so se in altri corsi di matematica spieghino in maniera differente.

nel secondo limite non mi sembra che la maggiorazione sia corretta, comunque ora scappo a studiare. io torno a guardare stasera se nessuno ti ha risposto prima, così vedo se mi viene qualche idea.

[marcook1]

Grazie 1000 per l'aiuto