Passaggi di disuguaglianze di norme Lp

[Ulyx3s]

Ragazzi, ho una brevissima riga di disuguaglianze che davvero non riesco a capire, soprattutto non vedo l' utilizzo della disuguaglianza di Young (il testo la cita).
Riporto testualmente:

$ u_k^p in C_0^1(RR) $
$|u(x)|^p le int_(RR)(|u_k|^(p-1)u_k)$
$ |u_k(x)|^p le int_(RR)|(|u_k|^(p-1)u_k)'|dx = p int |u_k|^(p-1)|u_k'|dx le p* ||u_k||^(p-1)_(L^p)*||u_k'||_(L^p) $
Usando la disuguaglianza di Young
$ ab le 1/(p') * a^(p')+1/p*b^p $
concludiamo dunque che
$ s u p|u_k(x)| le p^(1/p)*||u_k||_(H^(1,p)) $

Potreste delucidarmi su come viene ottenuta la conclusione e dove fa uso di Young, anhce perchè io non vedo alcuna somma..

[girdav]

Si ottiene che $|u_k(x)|\leq p^{1/p} ||u_k||_{L^p}^{1-1/p}||u_k'||_{L^p}^{1/p}$ e si applica Young con $a=||u_k'||_{L^p}$ e $b=||u_k||_{L^p}$.

[Ulyx3s]

ok, chiaro,per la definizione di norma in $H^(1,p)$.
Ma invece quella prima uguaglianza in cui separa le derivate e mette p davanti? Se è un integrazione per parti non dovrebbe cambiare l esponente da (p-1) a (p-2)?