Passaggi di dimostrazione

[Lucked]

ciao a tutti,
non riesco a capire quanto fa questo: $ lim_(x->0+) x^(-b+1)$ dove b >1

e perchè la derivata di questo:
$ F(epsilon) = int_(a+epsilon)^b f(x)dx $
viene cosi:
$ F'(epsilon) = -f(a+epsilon) $

voi lo capite?

[Lucked]

ok per la seconda domanda ci sono riuscito a rispondermi, chiedo scusa, ma certi passi che non ho mai visto, anche se semplici mi destano una certa perplessità.

[cozzataddeo]

Se è $b>1$ allora $b-1>0$ e $-b+1<0$ quindi si ha

$lim_(x->0^+)x^(-b+1)=lim_(x->0^+)x^(-(b-1))=lim_(x->0^+)1/x^(b-1)=$ (essendo appunto $b-1>0$) $=+oo$

[Lucked]

grazie, non riesco a ragionare per x che tende a zero, perche in genere applico limiti notevoli, qua si ha uno 0 elevato una cifra positiva. boh, mi fido del risultato, ma purtroppo non riesco a capirlo. dovrei essere un po' piu sciolto su questi passaggi per l'orale.

[cozzataddeo]

Non mi è ben chiara la tua difficoltà con i limiti per $x->0$.
Comunque, per capire l'esercizio in questione puoi partire dalla considerazione che risulta
$lim_(x->0^+)1/x=lim_(x->0^+)1/x^2=lim_(x->0^+)1/x^3=...=+oo$
ovvero
$lim_(x->0^+)1/x^alpha=+oo$ con $forall alpha>0$
Nel tuo caso è $alpha=b-1>0$ perciò
$lim_(x->0^+)1/x^(b-1)=+oo$

In alternativa puoi riscrivere il limite in una forma leggermente diversa
$lim_(x->0^+)1/x^(b-1)=lim_(x->0^+)(1/x)^(b-1)=$ (abusando della notazione) $=[+oo]^(b-1)=+oo$

In sostanza, $x^(b-1)$ con $x->0^+$ è un numero positivo molto vicino a zero, se dividi $1$ per un numero positivo molto vicino a $0$ ottieni un numero positivo molto grande (ad esempio 1/(1 milionesimo)=1 milione, 1/(1 miliardesimo) = 1 miliardo e così via), si intuisce che quando $x^(b-1)$ si approssima sempre di più a $0^+$ il limite si approssima quindi a $+oo$.