Partizione diadica di un quadrato
Ciao a tutti 
Oggi stavo leggendo una dimostrazione del fatto che ogni insieme aperto limitato di [tex]\mathbb{R}^m[/tex] è Lebesgue-misurabile e mi sono imbattuto in un termine che non conosco: decomposizione diadica. Vi do una traccia di dimostrazione:
[tex]A[/tex] aperto limitato implica che esiste un m-quadrato [tex]Q[/tex] tale che [tex]A\subset Q[/tex]. Consido la decomposizione diadica di [tex]Q[/tex] che chiamo [tex]\Pi_n[/tex]. Prendo in considerazione solo i plurirettangoli [tex]P_n[/tex] che si scrivono come unione di elementi della decomposizione [tex]\Pi_n[/tex] e contenuti in [tex]A[/tex]. Detto questo mi arriva una nuova informazione:
Al variare di [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] verrà a generarsi una successione di plurirettangoli [tex]\left\{P_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] tale che
[tex]P_n\subset P_{n+1}\qquad P_n\subset A\qquad \forall n\in\mathbb{N}[/tex]. La dimostrazione continua ed alla fine giunge alla tesi dicendo che [tex]\displaystyle A= \bigcup_{n=1}^\infty P_n\implies A\in \mathcal{R}_\sigma\subset \sigma(\mathcal{R})[/tex]*.
Il mio problema è che non so cosa sia la decomposizione diadica di un insieme
, andando a naso immagino sia una "griglia" di Q che può essere più o meno fine al variare del parametro n. MI potreste gentilmente dire come viene definita matematicamente? Vi ringrazio
____________
* [tex]\mathcal{R}[/tex] è l'anello degli insiemi P-J misurabili, [tex]\mathcal{R}_\sigma[/tex] è la famiglia di insiemi i quali si esprimono come unione numerabile di insiemi di [tex]\mathcal{R}[/tex]. [tex]\sigma(\mathcal{R})[/tex] è la più piccola [tex]\sigma-\text{algebra}[/tex] generata da [tex]\mathcal{R}[/tex].
Oggi stavo leggendo una dimostrazione del fatto che ogni insieme aperto limitato di [tex]\mathbb{R}^m[/tex] è Lebesgue-misurabile e mi sono imbattuto in un termine che non conosco: decomposizione diadica. Vi do una traccia di dimostrazione:
[tex]A[/tex] aperto limitato implica che esiste un m-quadrato [tex]Q[/tex] tale che [tex]A\subset Q[/tex]. Consido la decomposizione diadica di [tex]Q[/tex] che chiamo [tex]\Pi_n[/tex]. Prendo in considerazione solo i plurirettangoli [tex]P_n[/tex] che si scrivono come unione di elementi della decomposizione [tex]\Pi_n[/tex] e contenuti in [tex]A[/tex]. Detto questo mi arriva una nuova informazione:
Al variare di [tex]n\in \mathbb{N}[/tex] verrà a generarsi una successione di plurirettangoli [tex]\left\{P_n\right\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] tale che
[tex]P_n\subset P_{n+1}\qquad P_n\subset A\qquad \forall n\in\mathbb{N}[/tex]. La dimostrazione continua ed alla fine giunge alla tesi dicendo che [tex]\displaystyle A= \bigcup_{n=1}^\infty P_n\implies A\in \mathcal{R}_\sigma\subset \sigma(\mathcal{R})[/tex]*.
Il mio problema è che non so cosa sia la decomposizione diadica di un insieme
, andando a naso immagino sia una "griglia" di Q che può essere più o meno fine al variare del parametro n. MI potreste gentilmente dire come viene definita matematicamente? Vi ringrazio ____________
* [tex]\mathcal{R}[/tex] è l'anello degli insiemi P-J misurabili, [tex]\mathcal{R}_\sigma[/tex] è la famiglia di insiemi i quali si esprimono come unione numerabile di insiemi di [tex]\mathcal{R}[/tex]. [tex]\sigma(\mathcal{R})[/tex] è la più piccola [tex]\sigma-\text{algebra}[/tex] generata da [tex]\mathcal{R}[/tex].
Risposte
A naso direi che si tratta dell'analogo $N$-dimensionale della bisezione dell'intervallo: dividi cioe' ognuno dei lati del quadrato in $2^n$ parti eguali e consideri gli
$2^{Nn}$ quadratini cosi' individuati.
Credo.
$2^{Nn}$ quadratini cosi' individuati.
Credo.
Grazie ViciousGoblin, quindi se non ho frainteso l'm-quadrato Q viene scomposto in $2^{2n}$ m-quadrati di lato $L/2^n$ con $L$ lato del m-quadrato?
[[Perdonatemi l'abuso del termine m-quadrato, scritto 3 volte nella stessa frase
]]
[[Perdonatemi l'abuso del termine m-quadrato, scritto 3 volte nella stessa frase
]]
"Mathematico":
Grazie ViciousGoblin, quindi se non ho frainteso l'm-quadrato Q viene scomposto in $2^{2n}$ m-quadrati di lato $L/2^n$ con $L$ lato del m-quadrato?
[[Perdonatemi l'abuso del termine m-quadrato, scritto 3 volte nella stessa frase
Direi che (se con $m$ quadrato intendi il quadrato $m$ dimensionale, cioe' il prodotto cartesiano di un intervallo preso $m$ volte) dividendo ogni lato in $2^n$ sottointervalli
l'$m$-quadrato viene suddiviso in $(2^n)^m=2^{mn}$ parti $m$-quadratiformi
. Per esempio se dividi ogni lato di un cubo in $8=2^3$ parti , allora dividi il cubo in $8^3=2^9$ cubetti.Giusto ?
Sì, hai perfettamente ragione, ho afferrato il concetto, ti ringrazio! 
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