Particolare simmetria integrale doppio

[Zurzaza]

Ciao ragazzi, non sapevo come sintetizzare il titolo...perdonate la poca comprensibilità.
Sono alle prese con questo esercizio:
Data la curva $\phi(t)=(cos^3t,sin^3t)$
Indicato con $D$ il sottoinsieme limitato di $R^2$ avente la curva come bordo, calcolare \(\displaystyle \iint_D(|xy|)dxdy \)

Dopo aver rappresentato la curva, è evidente che questa presenta certe simmetrie :

Perdonatemi, non so perchè ma non mi funziona il tag url:
Wolfram

Presentando $|xy|$ le stesse simmetrie avevo pensato di ridurre il problema del calcolo di quell'integrale al calcolo di:
\(\displaystyle \iint_K(xy)dxdy \) dove K è l'insieme delimitato dalla parte di curva che sta nel primo quadrante e dai relativi segmenti sugli assi x e y

dopodichè avevo pensato di porre l'uguaglianza: \(\displaystyle \iint_D(|xy|)dxdy=4 \iint_K(xy)dxdy \) e risolvere il secondo usando gauss green.

E' giusto come ragionamento?

[Zurzaza]

Grazie mille!
Effettivamente volevo essere sicuro del mio ragionamento sulle simmetrie così da poter utilizzare questo "trucco" anche in futuro.