Parti frazionarie in base due

[donald_zeka]

Dato un numero frazionario $x<1$ in base 10, ho ben chiaro l'algoritmo per trovare la sua rappresentazione in base 2, ma non ho ben chiaro la natura teorica d questo procedimento, infatti sul mio testo c'è scritto:

Se $x<1$ allora esiste ed è unica una successione di valori binari $(a_k)_(k=1)^(k=oo)$ tale che:

$x=sum_(k=1)^(k=oo)a_k2^(-k)$

Non riesco a dimostrare questa proposizione

[Raptorista1]

L'esistenza è provata dall'algoritmo che hai detto di conoscere. Dell'unicità che cosa sai dire? Ricorda che \(a_k \in \{0,1\}\).

[donald_zeka]

Si, giusto, l'esistenza è quindi banale. Per quanto riguarda l'unicità non saprei, mi viene in mente il controesempio:

$x=1/2$

$a_k=(1,0,0,0...)$
$b_k=(0,1,1,1,1...)$

Sia $a_k$ che $b_k$ soddisfano quella relazione ma sono diverse

[theras]

Ed infatti,per l'unicità,mi sà che occorre aggiungere l'ipotesi che la successione di cifre binarie sia definitivamente diversa da 1 e con prima cifra non nulla:
è un caso specifico del cosidetto teorema di rappresentazione in base b
(nel quale l'unicità si dimostra per assurdo..),e d'altronde ad esempio,nella base 10,pure 0,50...0..=0,49...9..
Saluti dal web.

[donald_zeka]

Grazie, ora mi è chiaro