Parte reale e parte immaginaria

[informatica333]

Buongiorno a tutti, sono ore che cerco di trovare la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso : 1/sen(z)

Potete gentilmente aiutarmi?

[dan952]

$\sin(x+iy)=\sin(x)\cos(iy)+\sin(iy)\cos(x)$, ricordando che $\cos(iy)=\cosh(x)$ e $\sin(iy)=i\sinh(y)$ allora $\frac{1}{\sin(x)\cosh(y)+i\sinh(y)\cos(x)}=\frac{1}{\sin(x)\cosh(y)+i\sinh(y)\cos(x)}\frac{\sin(x)\cosh(y)-i\sinh(y)\cos(x)}{\sin(x)\cosh(y)-i\sinh(y)\cos(x)}=\frac{\sin(x)\cosh(y)-i\sinh(y)\cos(x)}{\sin^2(x)\cosh^2(y)+\sinh^2(y)\cos^2(x)}$...

[informatica333]

Non fa una piega, grazie a buon rendere

[informatica333]

dovrei mostrare che la funzione 1/sen(z) é olomorfa e vorrei farlo usando le condizioni di cauchy riemann

Quindi, derivata parziale parte reale fatta rispetto a x = derivata parziale parte immaginaria fatta rispetto a y

derivata parziale parte reale fatta rispetto a y = - derivata parziale parte immaginaria fatta rispetto a x


Vengono fuori conto molto lunghi, secondo voi sto procedendo correttamente?

[Bremen000]

Come ti ha detto dan per $\frac{z}{\cos(z)} $ ti conviene osservare che $f(z)=z$ è olomorfa e lo è anche $ \sin(z)$. Per le regole sulle funzioni composte e il prodotto di funzioni allora, dove definita, è olomorfa anche $\frac{z}{\sin(z)} $.
Altrimenti applicando le condizioni di Cauchy-Riemann come dici tu viene infinito.

Ciao.

[informatica333]

Ciao Bremen000

sicuramente questo metodo é corretto.

Ma, mi viene richiesto anche di calcolare la derivata prima in un generico punto z0 appartenente al dominio.
So che per fare la derivata serve conoscere le derivate parziali (sia della parte immaginaria che di quella reale) quindi in qualche modo sembra che non ho scampo.

E' corretto il mio ragionamento o ci sono altri modi per calcolare la derivata?

[Bremen000]

Dunque secondo me per essere corretto è corretto ma una volta che abbiamo dimostrato essere olomorfa e quindi analitica si applicano le normali regole di derivazione identiche al campo reale.
Quindi hai che

$ \frac{\partial}{\partial z} \frac{1}{\sin(z)} = -\frac{\cos(z)}{\sin^2(z)} $.

[dan952]

Se la funzione è olomorfa significa che è $CC-$ differenziabile dunque basta derivare rispetto a $z$...che per derivare $f(z)=e^z$ ti calcoli le derivate parziali?!