Parte reale di un'eq di secondo grado del campo complesso
Buonasera, ho provato a svolgere il seguente esercizio sostituendo $z = x +iy$ ma non penso di star seguendo il procedimento corretto. Inoltre non saprei come interpretare il risultato.
Determinare il luogo geometrico degli $z in CC$
$Re (i(z^2 + (Imz)^2)-z)/(e^(i3/2pi)(zoverline{z}-7e^(4pii))) = 0$
La risposta dovrebbe essere "Una parabola privata di due punti"
Riporto anche il mio tentativo.
Numeratore:
$i(x^2+y^2+2xyi+y^2)-x-iy = x^2i+2y^2i-2xy-x-iy$
Denominatore:
$e^i3/2 = -i$
$z*overline{z} = |z|^2 = x^2+y^2$
$7*e^(4pii) = 7*(1) = 7$
=> Poi ho riscritto ed eliminato $-i$ dal den moltiplicando e dividendo per $i$
$ Re[(x^2i+2y^2i-2xy-x-iy)/(-i*(x^2+y^2-7))* i/i] = 0$
$Re[(-x^2-2y^2-2xyi-ix+y)/(x^2+y^2-7)] = 0$
$ (-x^2-2y^2+y)/(x^2+y^2-7)= 0$
Grazie a chi proverà ad aiutarmi
Determinare il luogo geometrico degli $z in CC$
$Re (i(z^2 + (Imz)^2)-z)/(e^(i3/2pi)(zoverline{z}-7e^(4pii))) = 0$
La risposta dovrebbe essere "Una parabola privata di due punti"
Riporto anche il mio tentativo.
Numeratore:
$i(x^2+y^2+2xyi+y^2)-x-iy = x^2i+2y^2i-2xy-x-iy$
Denominatore:
$e^i3/2 = -i$
$z*overline{z} = |z|^2 = x^2+y^2$
$7*e^(4pii) = 7*(1) = 7$
=> Poi ho riscritto ed eliminato $-i$ dal den moltiplicando e dividendo per $i$
$ Re[(x^2i+2y^2i-2xy-x-iy)/(-i*(x^2+y^2-7))* i/i] = 0$
$Re[(-x^2-2y^2-2xyi-ix+y)/(x^2+y^2-7)] = 0$
$ (-x^2-2y^2+y)/(x^2+y^2-7)= 0$
Grazie a chi proverà ad aiutarmi
Risposte
Ciao! Quando inizi a trattare il numeratore, c'è un errore di segno sul primo addendo $y^2$ che compare qui:
Hai che $z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy+i^2y^2=x^2+2ixy-y^2$; quindi, nella somma $z^2+[\fr{I}(z)]^2$, ti si cancella la $y^2$ proveniente da $z^2$ con quella proveniente da $[\fr{I}(z)]^2$ (con $\fr{I}(z)$ denoto la parte immaginaria di $z$). Vedi se, aggiustando questo, ti viene il risultato corretto.
Una cosa: attenzione alla scrittura, qui
e anche nel testo dell'esercizio, ti è venuto scritto $\pi i$ moltiplicato per $e^4$; da come prosegui con i conti si capisce che in realtà è all'esponente, ma, in generale, se la scrittura non è chiara e va interpretata alcuni utenti potrebbero, giustamente, essere restii a risponderti e ciò va esclusivamente a tuo svantaggio.
"neperoz":
Numeratore:
$i(x^2+y^2+2xyi+y^2)-x-iy$
Hai che $z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy+i^2y^2=x^2+2ixy-y^2$; quindi, nella somma $z^2+[\fr{I}(z)]^2$, ti si cancella la $y^2$ proveniente da $z^2$ con quella proveniente da $[\fr{I}(z)]^2$ (con $\fr{I}(z)$ denoto la parte immaginaria di $z$). Vedi se, aggiustando questo, ti viene il risultato corretto.
Una cosa: attenzione alla scrittura, qui
"neperoz":
$7*e^4pii = 7*(1) = 7$
e anche nel testo dell'esercizio, ti è venuto scritto $\pi i$ moltiplicato per $e^4$; da come prosegui con i conti si capisce che in realtà è all'esponente, ma, in generale, se la scrittura non è chiara e va interpretata alcuni utenti potrebbero, giustamente, essere restii a risponderti e ciò va esclusivamente a tuo svantaggio.
Grazie non avevo notato l'errore di segno.
Per quanto riguarda l'esponenziale nel denominatore, grazie per avermelo fatto notare, sto ancora imparando a scrivere le formule.
Effettivamente ora il risultato è giusto! Grazie.
Per quanto riguarda l'esponenziale nel denominatore, grazie per avermelo fatto notare, sto ancora imparando a scrivere le formule.
Effettivamente ora il risultato è giusto! Grazie.
Prego! Voglio darti anche un modo alternativo di risolvere questo esercizio. Richiedere parte reale nulla significa richiedere che il numero complesso sotto il segno di parte reale sia puramente immaginario. Ossia, esiste $t\in\mathbb{R}$ tale che:
$$\frac{i[z^2+\Im(z)^2]-z}{e^{i 3\pi/2}(z\bar{z}-7e^{i4\pi})}=it$$
Posto $z=x+iy$, hai:
$$\frac{i[z^2+\Im(z)^2]-z}{e^{i 3\pi/2}(z\bar{z}-7e^{i4\pi})}=it \iff \frac{i(x^2+2ixy)-x-iy}{-i(x^2+y^2-7)}=it$$
$$\iff \frac{-x^2-2ixy-ix+y}{x^2+y^2-7}=-t \iff \frac{-x^2+y}{x^2+y^2-7}+i\frac{-2xy-x}{x^2+y^2-7}=-t$$
Ragioniamo similmente a prima: dato che $t$ è reale, anche $-t$ è reale. Quindi il numero complesso a membro di sinistra dell'ultima uguaglianza, essendo eguagliato al numero reale $-t$, deve essere anch'esso reale e perciò deve avere parte immaginaria $\frac{-2xy-x}{x^2+y^2-7}$ nulla. Supponendo $x^2+y^2 \ne 7$, si ha:
$$\frac{-2xy-x}{x^2+y^2-7}=0\iff x(2y+1)=0\iff [(x=0)\vee(y=-1/2)]$$
Sostituendo $x=0$ oppure $y=-1/2$ in $\frac{-x^2-2ixy-ix+y}{x^2+y^2-7}=-t$, trovi due equazioni di secondo grado, rispettivamente nelle variabili $y$ e $x$, dipendenti dal parametro reale $t$; ossia trovi due fasci di parabole. I punti di cui sono private sono gli zeri del denominatore $x^2+y^2-7=0$ dopo aver sostituito, rispettivamente, $x=0$, $y=-1/2$. Dato che "oppure" in logica è inclusivo, se poni $x=0$ e $y=-1/2$ puoi anche ricavare esplicitamente $t$.
Magari qui non si apprezza, però a volte ragionare così mi ha salvato dal fare una quantità di calcoli che farebbe fuori un maiale adulto.
$$\frac{i[z^2+\Im(z)^2]-z}{e^{i 3\pi/2}(z\bar{z}-7e^{i4\pi})}=it$$
Posto $z=x+iy$, hai:
$$\frac{i[z^2+\Im(z)^2]-z}{e^{i 3\pi/2}(z\bar{z}-7e^{i4\pi})}=it \iff \frac{i(x^2+2ixy)-x-iy}{-i(x^2+y^2-7)}=it$$
$$\iff \frac{-x^2-2ixy-ix+y}{x^2+y^2-7}=-t \iff \frac{-x^2+y}{x^2+y^2-7}+i\frac{-2xy-x}{x^2+y^2-7}=-t$$
Ragioniamo similmente a prima: dato che $t$ è reale, anche $-t$ è reale. Quindi il numero complesso a membro di sinistra dell'ultima uguaglianza, essendo eguagliato al numero reale $-t$, deve essere anch'esso reale e perciò deve avere parte immaginaria $\frac{-2xy-x}{x^2+y^2-7}$ nulla. Supponendo $x^2+y^2 \ne 7$, si ha:
$$\frac{-2xy-x}{x^2+y^2-7}=0\iff x(2y+1)=0\iff [(x=0)\vee(y=-1/2)]$$
Sostituendo $x=0$ oppure $y=-1/2$ in $\frac{-x^2-2ixy-ix+y}{x^2+y^2-7}=-t$, trovi due equazioni di secondo grado, rispettivamente nelle variabili $y$ e $x$, dipendenti dal parametro reale $t$; ossia trovi due fasci di parabole. I punti di cui sono private sono gli zeri del denominatore $x^2+y^2-7=0$ dopo aver sostituito, rispettivamente, $x=0$, $y=-1/2$. Dato che "oppure" in logica è inclusivo, se poni $x=0$ e $y=-1/2$ puoi anche ricavare esplicitamente $t$.
Magari qui non si apprezza, però a volte ragionare così mi ha salvato dal fare una quantità di calcoli che farebbe fuori un maiale adulto.
Un procedimento molto interessante a cui non avevo assolutamente pensato; credo di non aver visto niente di simile in aula.
Forse qui è un po' verboso sì, ma terrò a mente questo tipo di ragionamento per risparmiarmi calcoli (e sanità mentale).
Grazie mille
Forse qui è un po' verboso sì, ma terrò a mente questo tipo di ragionamento per risparmiarmi calcoli (e sanità mentale).
Grazie mille
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