Parte reale

[Alastor_88]

Salve a tutti, vorrei sapere quanto vale la parte reale della quantità:

$ 1/2 * (e^(i(wt-π/2)) - e^(-i(wt+π/2))) $

E se cortesemente foste così gentili da spiegarmi il procedimento da voi usato.

Grazie

[SuperPabjin]

ok hai ragione , si puo fare ed infatti è la stessa cosa

[Alastor_88]

Ok, però non riesco a capire se la soluzione datami dal prof è sbagliata...Se fosse un normale esercizio non mi interesserebbe più di tanto, ma fa parte della mia tesi di laurea...

Ho appena trovato che la parte reale in notazione esponenziale dovrebbe venire:

$ Re = i (e^(-iwt) - e^(iwt)) $

Che non corrisponde al risultato datomi dal professore...

Qualcuno può confermarmi questo risultato?

Grazie

[hee136]

"Alastor_88":Comunque ricapitolando, arrivo alla conclusione che la parte reale da me cercata è:

$ Re = cos (wt - π/2) - cos (wt + π/2) $

Solo che ora non sò come proseguire. Il prof mi aveva detto che la parte reale da me cercata in notazione esponenziale, doveva venire:

$ Re = e^(i(wt-π/2)) $

Ho fatto tutti i passaggi proprio per provare questo risultato, che comunque mi è stato raccomandato di controllare...

Però dalla parte reale da me trovata in seno e coseno, non riesco a risalire a questa formula, e nemmeno a ricavarne un altra (nel caso in cui quella che mi è stata data sia sbagliata).

Help!!

Sei sicuro del risultato?
Se non ho sbagliato qualcosa, come fa una parte reale ad essere uguale ad una quantità complessa?

$ Re = e^(i(wt-π/2)) = cos (wt-π/2) + i sen (wt-π/2)$

[Alastor_88]

E' quello che mi sono chiesto inizialmente anche io :S

[Alastor_88]

Ma la soluzione da me trovata va bene??

[Alastor_88]

Allora ricapitolando, io ho a che fare con la quantità $ sin (wt) $, devo scriverla in notazione esponenziale, e trovarne la parte reale.
I passaggi da me fatti sono i seguenti:

$ sin (wt) = (e^(iwt) - e^(-iwt))/(2i) = 1/2 (e^(i(wt - π/2)) - e^(-i(wt + π/2))) $

Ma:

$ e^(i(wt - π/2)) = cos (wt - π/2) + i sin (wt - π/2) $

$ e^(-i(wt + π/2)) = cos (-wt - π/2) + i sin (-wt - π/2) = cos (wt + π/2) - i sin (wt + π/2) $

Sostituendo ottengo quindi che:

$ sin (wt) = 1/2 (cos (wt - π/2) + i sin (wt - π/2) - cos (wt + π/2) + i sin (wt + π/2)) $

Da cui, visto che a me interessa prendere la parte reale, considero solo i termini dove non compare la i:

$ Re = 1/2 (cos (wt - π/2) - cos (wt + π/2)) $ (*)

Ora siccome a me interessa scrivere questa quantità in notazione esponenziale, considero che:

$ cos (wt - π/2) = (e^(i(wt - π/2)) + e^(-i(wt - π/2)))/2 $

$ cos (wt + π/2) = (e^(i(wt + π/2)) + e^(-i(wt + π/2)))/2 $

Sostituendo ottengo che:

$ Re = 1/4 (e^(i(wt - π/2)) + e^(-i(wt - π/2)) - e^(i(wt + π/2)) - e^(-i(wt + π/2))) $

Ma i vari termini tra parentesi si possono scrivere come:

$ e^(i(wt - π/2)) = (e^iwt)/i $

$ e^(-i(wt - π/2)) = i e^(-iwt) $

$ e^(i(wt + π/2)) = i e^iwt $

$ e^(-i(wt + π/2)) = (e^(-iwt))/i $

Sostituendo ottengo quindi:

$ Re = 1/4 ((e^iwt)/i + i e^(-iwt) - i e^iwt - (e^(-iwt))/i) $

Posso scrivere:

$ (e^iwt)/i - i e^iwt = (1/i - i) e^iwt = -2i e^iwt $

$ i e^(-iwt) - (e^(-iwt))/i = (i - 1/i) e^(-iwt) = 2i e^(-iwt) $

Da cui ottengo quindi:

$ Re = 1/4 (-2i e^iwt + 2i e^(-iwt)) = 1/2 i (e^(-iwt) - e^iwt) $

Solo che non sono sicuro di ciò che faccio, ossia alla fine mi accorgo che il risultato che scrivo, ossia:

$ Re = 1/2 i (e^(-iwt) - e^iwt) $

E' uguale a:

$ 1/2 (e^(i(wt - π/2)) - e^(-i(wt + π/2))) $

Che è a sua volta uguale a $ sin (wt) $ (è la prima relazione da cui sono partito)...

Non capisco che senso abbia, visto che comunque, io sono arrivato a questo risultato considerando SOLO la parte reale, ossia i termini in cui non compariva la i, nei passaggi precedenti (*)...

In attesa di una vostra risposta..Grazie

[hee136]

"Alastor_88":Allora ricapitolando, io ho a che fare con la quantità $ sin (wt) $, devo scriverla in notazione esponenziale, e trovarne la parte reale.
I passaggi da me fatti sono i seguenti:

$ sin (wt) = (e^(iwt) - e^(-iwt))/(2i) = 1/2 (e^(i(wt - π/2)) - e^(-i(wt + π/2))) $

Ma:

$ e^(i(wt - π/2)) = cos (wt - π/2) + i sin (wt - π/2) $

$ e^(-i(wt + π/2)) = cos (-wt - π/2) + i sin (-wt - π/2) = cos (wt + π/2) - i sin (wt + π/2) $

Sostituendo ottengo quindi che:

$ sin (wt) = 1/2 (cos (wt - π/2) + i sin (wt - π/2) - cos (wt + π/2) + i sin (wt + π/2)) $

Da cui, visto che a me interessa prendere la parte reale, considero solo i termini dove non compare la i:

$ Re = 1/2 (cos (wt - π/2) - cos (wt + π/2)) $ (*)

Ora siccome a me interessa scrivere questa quantità in notazione esponenziale, considero che:

$ cos (wt - π/2) = (e^(i(wt - π/2)) + e^(-i(wt - π/2)))/2 $

$ cos (wt + π/2) = (e^(i(wt + π/2)) + e^(-i(wt + π/2)))/2 $

Sostituendo ottengo che:

$ Re = 1/4 (e^(i(wt - π/2)) + e^(-i(wt - π/2)) - e^(i(wt + π/2)) - e^(-i(wt + π/2))) $ <---

Ma i vari termini tra parentesi si possono scrivere come:

$ e^(i(wt - π/2)) = (e^iwt)/i $

$ e^(-i(wt - π/2)) = i e^(-iwt) $

$ e^(i(wt + π/2)) = i e^iwt $

$ e^(-i(wt + π/2)) = (e^(-iwt))/i $

Sostituendo ottengo quindi:

$ Re = 1/4 ((e^iwt)/i + i e^(-iwt) - i e^iwt - (e^(-iwt))/i) $

Posso scrivere:

$ (e^iwt)/i - i e^iwt = (1/i - i) e^iwt = -2i e^iwt $

$ i e^(-iwt) - (e^(-iwt))/i = (i - 1/i) e^(-iwt) = 2i e^(-iwt) $

Da cui ottengo quindi:

$ Re = 1/4 (-2i e^iwt + 2i e^(-iwt)) = 1/2 i (e^(-iwt) - e^iwt) $

Solo che non sono sicuro di ciò che faccio, ossia alla fine mi accorgo che il risultato che scrivo, ossia:

$ Re = 1/2 i (e^(-iwt) - e^iwt) $

E' uguale a:

$ 1/2 (e^(i(wt - π/2)) - e^(-i(wt + π/2))) $

Che è a sua volta uguale a $ sin (wt) $ (è la prima relazione da cui sono partito)...

Non capisco che senso abbia, visto che comunque, io sono arrivato a questo risultato considerando SOLO la parte reale, ossia i termini in cui non compariva la i, nei passaggi precedenti (*)...

In attesa di una vostra risposta..Grazie

Non ho guardato tutti i passaggi, fino a dove ho messo il segno mi pare siano giusti.
Comunque visto che alla fine ottieni lo stesso risultato da cui sei partito, i conti finali dovrebbero essere corretti.

[hee136]

Hai ottenuto che $x= Re(x)$.
Quand'è che accade ciò?

[Alastor_88]

Quanto x è un numero reale...
Anche io avevo pensato, che ciò accadeva in quanto $ sin (wt) $ è un numero reale... Ma sono stato portato in confusione dal professore, che mi ha detto di scrivere $ sin (wt) $ in notazione esponenziale, e poi considerare solo la parte reale... Sostanzialmente sono tutti passaggi inutili allora, potevo operare già sulla prima relazione.... Difatti quella che trovo alla fine è la relazione di partenza scritta in altro modo... Grazie comunque, mi avete aiutato a schiarirmi le idee

[hee136]

A cosa ti serviva scrivere il sen con gli esponenziali?

[Alastor_88]

Praticamente devo risolvere un equazione differenziale alle derivate parziali, per la mia tesi di laurea.

L'equazione è:

$ du/dt - v d^2(u)/dy^2 = F(t) $

Essendo F(t) una forzante periodica, pari a:

$ F(t) = A sin (wt) $

Dove mi è stato detto appunto di scrivere il $ sin (wt) $ in notazione esponenziale "considerandone la parte reale"..

L'equazione differenziale l'avevo risolta, almeno in riferimento alla parte omogenea, sia grazie al libro di Salsa (dove c'è ne è una simile), sia grazie ai suggerimenti di Gugo 82..

Avevo però dei problemi per la risoluzione della parte non omogenea, sono andato dal docente, e lui mi ha fatto arrivare ad una soluzione sebbene completa, diversa da quella proposta nel Salsa...

A questo punto ho anche dei dubbi che la soluzione sia errata....