Parte principale in Mclaurin

[drigan]

Salve a tutti
ho un problema nel trovare la parte principale nelle funzioni, se ad esempio sviluppata la funzione con mclaurin arrivo ad avere: x+x^2+o(x^2) la parte principale è x+x^2 o solo x^2?
Amenochè non si possa avere 2 componenti a fine sviluppo, in tal caso non ho capito niente sugli sviluppi

[drigan]

up, nessuno sa aiutarmi?

[maurer]

Dal momento che parli di sviluppi di McLaurin immagino che quella formula valga per $x\to 0$; in tal caso ti è sufficiente osservare che $x^2=o(x)$ per $xrarr 0$, e quindi la risposta alla tua domanda è che la parte principale è $x$.

[drigan]

quindi nel caso x->0 considero solo la parte componente con grado minore giusto?
se diversamente x-> infinito?

[maurer]

Certamente: basta osservare che $\lim_{x\to 0}x^\alpha/x^\beta=0$ se e solo se $\alpha>beta$; se vale questo allora puoi dire che $x^\alpha=o(x^\beta)$.
Se invece $x\to +infty$ (o $x\to -\infty$) allora non puoi sviluppare in serie di McLaurin in funzione di x. Puoi farlo rispetto ad esempio a $1/x$ (e dai semplicemente una valutazione del comportamento asintotico della tua funzione rispetto all'infinitesimo $1/x$). Faccio un esempio: non puoi sviluppare $ln(x)$ per $x\to +\infty$); tuttavia ti è lecito sviluppare rispetto a $1/x$ la funzione $arctan(1/x)$ per $x\to +\infty$.
In ogni caso, se hai in generale un polinomio, la sua parte principale per $x\to +\infty$ è il termine di grado massimo (per considerazioni analoghe a quelle fatte nel caso di $x\to 0$)...