Parte Principale di una Funzione
Vorrei che qualcuno mi aiutasse a capire se c'è qualche problema nel mio concetto di "parte principale".
Tratto dal libro di analisi 1 "in termini geometrici, il grafico di f si confonde con quello della sua parte principale in un intorno abbastanza piccolo di $x_0$"
Inolte mi è estato detto che per calcolare la parte principale si può procedere in modo più rigoroso, con un infinito campione, oppure semplicemente, ove possibile, trascurando gli o piccoli e sostituendo con i simboli di landauo McLaurin ,tendando di ottenere una forma quanto più semplice possibile.
Vi faccio un esempio, prendiamo la funzione
$f(x)=sqrt(2x^2+3x+5)$
Andando a calcolare la parte principale per $x->+infty$ si ha che l'infinito campione è $\varphi(x)=x$
SI ha che $p(x)=xsqrt(2)$
A grande scala i due grafici sembrano coincidere, ma "zoommando" un po' (ed intendo utilizzando come unità del grafico 1cm pari cirda a 100 sulle x) i due grafici non conicidono per nulla, nonostante il comportamento sia molto simile.
Tratto dal libro di analisi 1 "in termini geometrici, il grafico di f si confonde con quello della sua parte principale in un intorno abbastanza piccolo di $x_0$"
Inolte mi è estato detto che per calcolare la parte principale si può procedere in modo più rigoroso, con un infinito campione, oppure semplicemente, ove possibile, trascurando gli o piccoli e sostituendo con i simboli di landauo McLaurin ,tendando di ottenere una forma quanto più semplice possibile.
Vi faccio un esempio, prendiamo la funzione
$f(x)=sqrt(2x^2+3x+5)$
Andando a calcolare la parte principale per $x->+infty$ si ha che l'infinito campione è $\varphi(x)=x$
SI ha che $p(x)=xsqrt(2)$
A grande scala i due grafici sembrano coincidere, ma "zoommando" un po' (ed intendo utilizzando come unità del grafico 1cm pari cirda a 100 sulle x) i due grafici non conicidono per nulla, nonostante il comportamento sia molto simile.
Risposte
Beh, per calcolare la parte principale io preferirei procedere in questo modo:
$f(x)=sqrt(5+3x+2x^2)$
$f(x)=sqrt( (2x^2)(5+3/(2x)+5/(2x^2)) )$
$f(x)=sqrt(2)|x|sqrt(1+3/(2x)+5/(2x^2))$
Adesso specializzo l'esercizio per $x->+oo$ quindi libero $x$ dal valore assoluto ed utilizzo lo sviluppo di Mclaurin, in quanto $3/(2x)+5/(2x^2)$ per $x->+oo$ tende a $0$:
$f(x)=sqrt(2)x(1+3/(4x)+o(1/x))$
$f(x)=sqrt(2)x+(3sqrt(2))/4$ per $x->+oo$
Quindi $p(x)=sqrt(2)x+(3sqrt(2))/4$
Questa dovrebbe essere un po più "simile" alla $f(x)$ quando la $x->+oo$
Se ci sono errori, è mattina e non connetto mai troppo bene
$f(x)=sqrt(5+3x+2x^2)$
$f(x)=sqrt( (2x^2)(5+3/(2x)+5/(2x^2)) )$
$f(x)=sqrt(2)|x|sqrt(1+3/(2x)+5/(2x^2))$
Adesso specializzo l'esercizio per $x->+oo$ quindi libero $x$ dal valore assoluto ed utilizzo lo sviluppo di Mclaurin, in quanto $3/(2x)+5/(2x^2)$ per $x->+oo$ tende a $0$:
$f(x)=sqrt(2)x(1+3/(4x)+o(1/x))$
$f(x)=sqrt(2)x+(3sqrt(2))/4$ per $x->+oo$
Quindi $p(x)=sqrt(2)x+(3sqrt(2))/4$
Questa dovrebbe essere un po più "simile" alla $f(x)$ quando la $x->+oo$
Se ci sono errori, è mattina e non connetto mai troppo bene
Penso di aver trovato il problema...
In un intorno di un valore finito è sempre vero che il grafico di una funzione e quello della sua parte principale (una funzione a le equivalente, scritta inf orma più "semplice") tendono a confondersi.
In un intorno di $+infty$ però la relazione:
Asintotico $->$ Equivalente
Vale solo in questo verso, e non al contrario, altrimenti tutte le funzioni avrebbero un asintoto destro se per $x->+infty$ allora $f(x)->infty$
In un intorno di un valore finito è sempre vero che il grafico di una funzione e quello della sua parte principale (una funzione a le equivalente, scritta inf orma più "semplice") tendono a confondersi.
In un intorno di $+infty$ però la relazione:
Asintotico $->$ Equivalente
Vale solo in questo verso, e non al contrario, altrimenti tutte le funzioni avrebbero un asintoto destro se per $x->+infty$ allora $f(x)->infty$
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