Parte positiva e parte negativa di una funzione

[Kindot]

Ciao a tutti, potete aiutarmi a risolvere questo esercizio? Non riesco a trovare neanche la teoria da cui proviene.

Sia data la funzione

f(x):= 1-x se x appartiene a [0,1]
-1 se x appartiene a ]1,2]

(1) scrivere le espressioni di f+ ed f- ;
(2) calcolare la misura dei rettangoloidi Rf+, Rf- e Rf .
(si suggerisce di disegnare il grafico di f)


GRAZIE

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data una funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \begin{cases} 1 - x & \text{se} \; 0 \le x \le 1 \\ - 1 & \text{se} \; 1 < x \le 2 \end{cases}\\[/math]

si definisce parte positiva di

[math]f\\[/math]

la funzione

[math]f^+(x) := \max\{f(x),\,0\} = \begin{cases} f(x) & \text{se} \; f(x) > 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\\[/math]

e si definisce parte negativa di

[math]f\\[/math]

la funzione

[math]f^-(x) := - \min\{f(x),\,0\} = \begin{cases} - f(x) & \text{se} \; f(x) < 0 \\ 0 & \text{altrimenti} \end{cases}\\[/math]

A te applicare tali definizioni al tuo caso particolare. ;)

[Kindot]

Allora intanto grazie della risposta. Mi spieghi cosa vuol dire max e min {f(x),0}?

Da quel che ho capito sarebbe

f+ 1-x

giusto?

f- sinceramente non so forse 1?

Ma non sto capendo XD

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Dunque, date le funzioni

[math]f,\,g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

, si definiscono rispettivamente:

[math]\begin{aligned}

& \max\{ f,\,g \} := \begin{cases} f & \text{se} \; f \ge g \\ g & \text{altrimenti} \end{cases} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& \min\{ f,\,g \} := \begin{cases} f & \text{se} \; f \le g \\ g & \text{altrimenti} \end{cases} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& f^+ := \max\{ f,\,0 \} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& f^- := - \min\{ f,\,0 \} \; ;

\end{aligned}\\[/math]

dove, naturalmente, tali funzioni sono definitive in

[math]\text{dom}[f]\cap \text{dom}[g]\\[/math]

.


Alla luce di tali definizioni, data la funzione

[math]f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\\[/math]

definita da

[math]f(x) := \begin{cases} 1 - x & \text{se} \; 0 \le x \le 1 \\ - 1 & \text{se} \; 1 < x \le 2 \end{cases}\\[/math]

segue che

[math]\begin{aligned}

& f^+(x) = \begin{cases} 1-x & \text{se} \; 0 \le x < 1 \\ 0 & \text{se} \; 1 \le x \le 2 \end{cases} \; ; \\

& \color{white}{.} \\

& f^-(x) = \begin{cases} 1 & \text{se} \; 1 < x \le 2 \\ 0 & \text{se} \; 0 \le x \le 1 \end{cases} \; .

\end{aligned}\\[/math]

Spero sia sufficientemente chiaro. ;)

[Kindot]

ok più o meno ci sono. Per quanto riguarda i rettangoloidi mi sai dare delucidazioni?

[ce8c0e31f941cc14ed8def9a9c5c3a60a8400d85]

Data una funzione

[math]f : [a,\,b] \to \mathbb{R}[/math]

continua in

[math][a,\,b][/math]

e
definita da

[math]y = f(x)[/math]

, si definisce rettangoloide di base

[math][a,\,b][/math]

relativo ad

[math]f[/math]

il seguente sottoinsieme di

[math]\mathbb{R}^2[/math]

:

[math]R := \left\{(x,\,y) \in \mathbb{R}^2 : a \le x \le b, \; 0 \le y \le f(x)\right\} \; .\\[/math]

La misura di tale dominio è banalmente:

[math]|R| = \int_a^b f(x)\,\text{d}x\\[/math]

.

Ti consiglio di aprirlo il libro di analisi matematica, non morde. ;)

[Kindot]

Ad avercelo.. :P grazie comunque credo di aver capito tutto, gentilissimo!