Parseval e indici di sommatorie
Ciao a tutti,
sono alle prese con la dimostrazione dell'uguaglianza di Parseval, che dice
\[ \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (\left \vert a_n \right \vert^2 + \left \vert b_n \right \vert^2) = \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t \]
dove \( a_n \) e \( b_n \) sono i coefficienti di Fourier di \( f \) ed \( f \) è periodica di periodo \( a \) e tale che l'integrale
\[ \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t \]
è convergente.
Ho impostato la dimostrazione come richiesto dall'esercizio, cioè sfruttando le uguaglianze
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left \vert c_n \right \vert^2 = \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t \]
e
\[ \cases{c_n = \frac{1}{2} (a_n - i b_n) \\ c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n + i b_n)} \qquad n \ge 0 \]
Dunque
\[ \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left \vert c_n \right \vert^2 = \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left \vert \frac{1}{2} (a_n - i b_n) \right \vert^2 + \sum_{n=-\infty}^{-1} \left \vert \frac{1}{2} (a_{-n} + i b_{-n}) \right \vert^2 \]
Ora, ponendo \( k = -n \), avrei
\[ \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t = \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2) + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_k^2 + b_k^2) \]
e l'idea sarebbe di dire che, essendo muti gli indici di sommatoria:
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_k^2 + b_k^2) \]
Dunque
\[ \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t = \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) \]
da cui concludo la dimostrazione.
Secondo voi è corretta o c'è qualche errore?
sono alle prese con la dimostrazione dell'uguaglianza di Parseval, che dice
\[ \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (\left \vert a_n \right \vert^2 + \left \vert b_n \right \vert^2) = \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t \]
dove \( a_n \) e \( b_n \) sono i coefficienti di Fourier di \( f \) ed \( f \) è periodica di periodo \( a \) e tale che l'integrale
\[ \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t \]
è convergente.
Ho impostato la dimostrazione come richiesto dall'esercizio, cioè sfruttando le uguaglianze
\[ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left \vert c_n \right \vert^2 = \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t \]
e
\[ \cases{c_n = \frac{1}{2} (a_n - i b_n) \\ c_{-n} = \frac{1}{2} (a_n + i b_n)} \qquad n \ge 0 \]
Dunque
\[ \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \left \vert c_n \right \vert^2 = \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \left \vert \frac{1}{2} (a_n - i b_n) \right \vert^2 + \sum_{n=-\infty}^{-1} \left \vert \frac{1}{2} (a_{-n} + i b_{-n}) \right \vert^2 \]
Ora, ponendo \( k = -n \), avrei
\[ \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t = \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2) + \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_k^2 + b_k^2) \]
e l'idea sarebbe di dire che, essendo muti gli indici di sommatoria:
\[ \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_n^2 + b_n^2) = \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{1}{4} (a_k^2 + b_k^2) \]
Dunque
\[ \frac{1}{a} \int_0^a \left \vert f(t) \right \vert^2\, \text{d}t = \frac{1}{4} \left \vert a_0 \right \vert^2 + \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) \]
da cui concludo la dimostrazione.
Secondo voi è corretta o c'è qualche errore?
Risposte
Giusto (a patto di scrivere i moduli lì dove ci vogliono 
).
).
Presumo che tu intenda dire che alla fine dovrei esplicitare l'uguaglianza che ho lasciato implicita
\[\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (\left \vert a_n \right \vert^2 + \left \vert b_n \right \vert^2) \]
vero?
\[\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (a_n^2 + b_n^2) = \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{+\infty} (\left \vert a_n \right \vert^2 + \left \vert b_n \right \vert^2) \]
vero?
Esatto...
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