Parere su studio successione di funzioni

[-bruss]

Salve a tutti, ho davanti un quesito d'esame che riguarda la seguente successioni di funzioni:

$ (cos(x^n))/(1+x^(2n)) $

La cosa che mi è saltata subito all'occhio è stata $ x^n $ come argomento del coseno, di conseguenza ho calcolato che la funzione è puntualmente convergente in 0 nell'intervallo $ (-1,+oo) $ poiché per $ x<=-1 $ $ x^n $ non esiste, mentre negli altri casi abbiamo una funzione coseno limitata ed un denominatore che andrà sempre più velocemente a $ +oo $ , è corretto?

Invece, per la convergenza uniforme, penso che basti dire la funzione, nell'intervallo scelto, è $ <= $ di $ 1/(1+x^2n) $ che tende a 0 per n che tende a $+oo$, di conseguenza anche la funzione di partenza tende a 0, per cui, nell'intervallo $ (-1,+oo) $, la funzione converge anche uniformemente. È giusto come ragionamento oppure ho mancato qualcosa?

[Rigel1]

Osservazione preliminare: detto \(f_n(x)\) il termine generale della successione, hai che \(f_n\) è pari per ogni \(n\).
Per \(|x| > 1\) (dunque, in particolare, anche per \(x < -1\)) hai che
\[
|f_n(x)| \leq \frac{1}{1+x^{2n}} \to 0,
\]
da cui deduci \(\lim_n f_n(x) = 0\).
Per \(|x| = 1\) la successione è costante e vale \(\frac{\cos 1}{2}\).
Per \(|x| < 1\) hai che \(x^n \to 0\), dunque \(f_n(x) \to 1\).

Ora puoi passare allo studio della convergenza uniforme...