Parere esercizi svolti sviluppi di taylor/derivabilità
Ciao a tutti!
stavo cercando di fare chiarezza su questi due esercizi che ho provato a svolgere:
a) Usando gli sviluppi di taylor determinare l' ordine di infinito/infinitesimo di
$ 1/sin(x-9) - 1/tan(x-9) $ per $x->9$
b) Definire l'esistenza e la derivabilità di
$ sqrt(sin(ln (x)^(9) ) ) $
a) Per il primo l'ho impostato cosi:
$ lim_(x -> 9) ((tan(x-9) - sin(x-9))/(sin(x-9)tan(x-)))/|x-9|^B $
usando $ tan(x-9)=sin(x-9)/cos(x-9) $
sono arrivato in conclusione dopo semplici passaggi a $ sin(x-9) /|x-9|^B$
Per x->9 uso lo sviluppo del seno
$((x-9)(1+o(1)))/|x-9|^B$
Per cui ne dedurrei che sia di ordine 1, è corretto? il fatto di usarlo lo sviluppo all'ultimo passaggio può andare in contraddizione con la traccia?
b)
Il dominio mi risultava il seguente:
$ D={x in < RR +> |, e^{2/9kPI} < x < e^{(PI(1+2k))/9} } $ il limite
Per la derivabilità ho calcolato il limite del rapporto incrementale essendo periodica, nel primo intervallo, per $x->1 $ e $ x -> e^{PI/9}$,
venendo $0$ entrambi, posso concludere che è derivabile sul suo dominio(se giusto:))?
PS: possibile che non ci trovi PI nelle applicazioni delle formule?
stavo cercando di fare chiarezza su questi due esercizi che ho provato a svolgere:
a) Usando gli sviluppi di taylor determinare l' ordine di infinito/infinitesimo di
$ 1/sin(x-9) - 1/tan(x-9) $ per $x->9$
b) Definire l'esistenza e la derivabilità di
$ sqrt(sin(ln (x)^(9) ) ) $
a) Per il primo l'ho impostato cosi:
$ lim_(x -> 9) ((tan(x-9) - sin(x-9))/(sin(x-9)tan(x-)))/|x-9|^B $
usando $ tan(x-9)=sin(x-9)/cos(x-9) $
sono arrivato in conclusione dopo semplici passaggi a $ sin(x-9) /|x-9|^B$
Per x->9 uso lo sviluppo del seno
$((x-9)(1+o(1)))/|x-9|^B$
Per cui ne dedurrei che sia di ordine 1, è corretto? il fatto di usarlo lo sviluppo all'ultimo passaggio può andare in contraddizione con la traccia?
b)
Il dominio mi risultava il seguente:
$ D={x in < RR +> |, e^{2/9kPI} < x < e^{(PI(1+2k))/9} } $ il limite
Per la derivabilità ho calcolato il limite del rapporto incrementale essendo periodica, nel primo intervallo, per $x->1 $ e $ x -> e^{PI/9}$,
venendo $0$ entrambi, posso concludere che è derivabile sul suo dominio(se giusto:))?
PS: possibile che non ci trovi PI nelle applicazioni delle formule?
Risposte
"bradipo90":
sono arrivato in conclusione dopo semplici passaggi a $ sin(x-9) /|x-9|^B$
Il risultato è giusto; non è chiaro invece cosa intendi quando scrivi "dopo semplici passaggi"...
Se non ho scritto male dovrebbero essere
$ (sin(x-9)/cos(x-9) - sin(x-9))/((sin^2(x-9))/cos(x-9)) = (sin(x-9)-sin(x-9)cos(x-9))/(sin^2(x-9))= (sin(x-9)(1-cos(x-9)))/(sin^2(x-9))=(sin^3(x-9))/(sin^2(x-9))=sin(x-9) $
Intendevi giusto anche il b?
$ (sin(x-9)/cos(x-9) - sin(x-9))/((sin^2(x-9))/cos(x-9)) = (sin(x-9)-sin(x-9)cos(x-9))/(sin^2(x-9))= (sin(x-9)(1-cos(x-9)))/(sin^2(x-9))=(sin^3(x-9))/(sin^2(x-9))=sin(x-9) $
Intendevi giusto anche il b?
No, ho controllato solo il primo.
Qui non è [tex]$cos^2(x - 9)$[/tex], attento.
"bradipo90":
... $(sin(x-9)(1-cos(x-9)))/(sin^2(x-9))=(sin^3(x-9))/(sin^2(x-9))$ ...
Qui non è [tex]$cos^2(x - 9)$[/tex], attento.
Comunque sia, una volta giunto qui $(sin(x-9)(1-cos(x-9)))/(sin^2(x-9))$, è presto fatta:
Per [tex]$x \to 9$[/tex] il denominatore è asintotico a [tex]$( x - 9 )^2$[/tex], mentre il numeratore a [tex]$(x-9) \cdot \frac{(x - 9)^2}{2}$[/tex]...
Per [tex]$x \to 9$[/tex] il denominatore è asintotico a [tex]$( x - 9 )^2$[/tex], mentre il numeratore a [tex]$(x-9) \cdot \frac{(x - 9)^2}{2}$[/tex]...
hai ragione che errore grossolano, ti ringrazio .
qualcuno a dirmi qualcosa sul secondo?
Sei sicuro che sia derivabile in $1$?
Ah si il limite sinistro di
$ lim_(x -> 1+-)(sqrt(sin(ln(x^9))))/(x-1) $
non esiste e per cui non è derivabile in 1,
ma vedendo il grafico adesso ho notato che ha tantissime discontinuità con cuspidi, in linea di massima come faccio a conoscere tutta la derivabilità di una funzione?
$ lim_(x -> 1+-)(sqrt(sin(ln(x^9))))/(x-1) $
non esiste e per cui non è derivabile in 1,
ma vedendo il grafico adesso ho notato che ha tantissime discontinuità con cuspidi, in linea di massima come faccio a conoscere tutta la derivabilità di una funzione?
Ehm no. non è per quello, giustamente la funzione non è definita a sinistra di $1$, ma potresti dire che è derivabile a destra, cosa che non succede ma non hai fatto vedere perchè.
Comunque i campanelli dall'allarme, di solito, sono gli annullamenti degli argomenti di un radice o di un modulo, perchè?
Comunque i campanelli dall'allarme, di solito, sono gli annullamenti degli argomenti di un radice o di un modulo, perchè?
il limite precedente è sbagliato perchè è uguale con l'Hopital a
$ (9cos(ln(x^9)))/(2xsqrt(sin(ln(x^9))) $
che per $x->1+$ è inifinito.
Per quell'altra cosa che dicevi perchè dove si annulla l'arogmento della radice disolito la derivata destra destra è inifinita, mentra per i moduli perchè si incorre nei punti angolosi. Giusto?
$ (9cos(ln(x^9)))/(2xsqrt(sin(ln(x^9))) $
che per $x->1+$ è inifinito.
Per quell'altra cosa che dicevi perchè dove si annulla l'arogmento della radice disolito la derivata destra destra è inifinita, mentra per i moduli perchè si incorre nei punti angolosi. Giusto?
"bradipo90":
il limite precedente è sbagliato perchè è uguale con l'Hopital a
$ (9cos(ln(x^9)))/(2xsqrt(sin(ln(x^9))) $
che per $x->1+$ è inifinito.
Già meglio.
"bradipo90":
dove si annulla l'arogmento della radice disolito la derivata destra è inifinita
e quella sinistra no?
quella di sinistra è nel dominio solo per radici dispari, comunque ti ringrazio:)
"bradipo90":
quella di sinistra è nel dominio solo per radici dispari
non è vero, prendi $sqrt(|x|)$.
giusto! anche queste $| root(n)(x) |$
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