Parametrizzazione superficie
Si consideri la curva $\gamma$ di equazioni parametriche:
$\{(x = cos theta),(y = sin theta),(z = 2theta/pi):}$
$\0<=theta<=pi/2$
-Sia S la superficie ottenuta congiungendo ogni punto di $\gamma$ con la suo proiezione sul piano $\z=0$. Scrivere una parametrizzazione di S.
-Sia T la superficie ottenuta congiungendo ogni punto di $\gamma$ con l'origine, scriverne una parametrizzazione.
Dunque a occhio mi sembra si tratti di un pezzettino di spirale nello spazio ($\RR^3$). Ora una superficie generica sarà una
$\S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ con $\S:[a,b]x[c,d] \to RR^3$ quindi mi pare evidente la necessità di introdurre un secondo parametro.
Il punto è che non so davvero come fare a "congiungere"..o meglio, congiungere con un asse mi sa tanto di proiezione, ma con l'origine?
Ho cercato ovunque, la teoria di questa parte è stata fatta male, ci sto sbattendo da un po'..mi date una mano? Anche solo un suggerimento!
$\{(x = cos theta),(y = sin theta),(z = 2theta/pi):}$
$\0<=theta<=pi/2$
-Sia S la superficie ottenuta congiungendo ogni punto di $\gamma$ con la suo proiezione sul piano $\z=0$. Scrivere una parametrizzazione di S.
-Sia T la superficie ottenuta congiungendo ogni punto di $\gamma$ con l'origine, scriverne una parametrizzazione.
Dunque a occhio mi sembra si tratti di un pezzettino di spirale nello spazio ($\RR^3$). Ora una superficie generica sarà una
$\S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$ con $\S:[a,b]x[c,d] \to RR^3$ quindi mi pare evidente la necessità di introdurre un secondo parametro.
Il punto è che non so davvero come fare a "congiungere"..o meglio, congiungere con un asse mi sa tanto di proiezione, ma con l'origine?
Ho cercato ovunque, la teoria di questa parte è stata fatta male, ci sto sbattendo da un po'..mi date una mano? Anche solo un suggerimento!
Risposte
Per quanto riguarda il primo caso, la superficie $S$, proporrei la seguente:
$\{(x=cos\theta),(y=sin\theta),(z=t):}$
dove $\0<=theta<=pi/2$ e $0<=t<=2\theta/\pi$.
Per quanto riguarda il secondo caso, la superficie $T$, proporrei quest'altra:
$\{(x=tcos\theta),(y=tsin\theta),(z=2\theta/\pit):}$
dove $\0<=theta<=pi/2$ e $0<=t<=1$.
$\{(x=cos\theta),(y=sin\theta),(z=t):}$
dove $\0<=theta<=pi/2$ e $0<=t<=2\theta/\pi$.
Per quanto riguarda il secondo caso, la superficie $T$, proporrei quest'altra:
$\{(x=tcos\theta),(y=tsin\theta),(z=2\theta/\pit):}$
dove $\0<=theta<=pi/2$ e $0<=t<=1$.
Mi dici solo che ragionamento hai usato? Un parametro può figurare nell'insieme su cui l'altro parametro è definito?
Il dominio della parametrizzazione è un sottinsieme di $R^2$, quindi le condizioni che lo esprimono possono tranquillamente contenere entrambe le variabili. Per comprendere il procedimento, dovresti avere discrete competenze analitiche e geometriche. Se sei interessato, provo a mettere nero su bianco.
Te ne sarei davvero grato. Le competenze DOVREI averle 
Ok, ci provo. Nel primo caso la tua superficie è costituita da infiniti segmenti paralleli all'asse $z$, di estremi $(cos\theta,sin\theta,0)$ e $(cos\theta,sin\theta,2\theta/\pi)$. Con il parametro $\theta$, identifichi la proiezione sul piano $xy$. Hai bisogno però di un secondo parametro $t$ che "spazzoli" il segmento parallelo all'asse $z$ lungo tutta la sua lunghezza. Da questo la sua limitazione. A questo punto, se sono stato sufficientemente chiaro, sarebbe interessante che tu ricavassi la seconda. Non è poi così più complicata.
Dunque..(ammetto di aver già visto però la soluzione): questa volta devo riempire la superfice congiungendola ogni volta con l'origine, quindi ogni segmento dovrà riempire lo spazio tra l'origine e il punto...quindi moltiplicando per un parametro tra 0 e 1 ottengo col valore 0 l'origine, col valore 1 il punto sulla curva, per valori intermedi sto giustamente in mezzo...è corretto?
La retta di cui parli ha equazione $(x-0)/cos\theta=(y-0)/sin\theta=(z-0)/(2\theta/\pi)=t$, e a questo stadio, $t$ identifica univocamente il punto sulla retta. Quindi, per $0<=t<=1$, "spazzoli" il segmento che ti interessa. Mi sembra più codificabile e rigoroso.
È vero ma allora sono proprio scemo! Scusami con quella scrittura non mi trovo, se hai voglia senti ancora questo mio dubbio.
Superficie T, quindi unendo la curva con l'origine.
Scrivo semplicemente la retta in equazioni parametriche passante per il punto $\A=(0,0,0)$ e $\B=(cos theta, sin theta, 2theta/pi)$. Viene
$\{(x=0+tcos theta = tcos theta), (y=0+tsin theta= tsin theta), (z=0+2t theta/pi=2t theta/pi):}$
$\0<=theta<=pi/2$
$\0<=t<=1$
E qui mi trovo.
Se invece provo a scrivere la generica retta congiungente $\gamma$ con la sua proiezione sul piano $\xy$, ovvero la retta che congiunge $\A=(cos theta, sin theta, 0)$ e $\B=(cos theta, sin theta, 2theta/pi)$ viene:
$\{(x=cos theta + t*0=cos theta), (y=sin theta + t*0=sin theta), (z=0+t2 theta/pi=2t theta/pi):}$
$\0<=theta<=pi/2$
$\0<=t<=1$
È corretta oppure mi sfugge qualcosa? Guardandola bene non mi sembra male perchè evito di mettere il parametro $\theta$ nell'intervallo di definizione del secondo parametro! Dimmi tu
Superficie T, quindi unendo la curva con l'origine.
Scrivo semplicemente la retta in equazioni parametriche passante per il punto $\A=(0,0,0)$ e $\B=(cos theta, sin theta, 2theta/pi)$. Viene
$\{(x=0+tcos theta = tcos theta), (y=0+tsin theta= tsin theta), (z=0+2t theta/pi=2t theta/pi):}$
$\0<=theta<=pi/2$
$\0<=t<=1$
E qui mi trovo.
Se invece provo a scrivere la generica retta congiungente $\gamma$ con la sua proiezione sul piano $\xy$, ovvero la retta che congiunge $\A=(cos theta, sin theta, 0)$ e $\B=(cos theta, sin theta, 2theta/pi)$ viene:
$\{(x=cos theta + t*0=cos theta), (y=sin theta + t*0=sin theta), (z=0+t2 theta/pi=2t theta/pi):}$
$\0<=theta<=pi/2$
$\0<=t<=1$
È corretta oppure mi sfugge qualcosa? Guardandola bene non mi sembra male perchè evito di mettere il parametro $\theta$ nell'intervallo di definizione del secondo parametro! Dimmi tu
Va più che bene lo stesso! 
Effettivamente, codificando, viene ancora più meccanico. Nel mio caso però, avevo solo una variabile nell'espressione di $z$.
Per capire quale delle due parametrizzazioni comporti meno calcoli, bisognerebbe farli. Certo, avere intervalli di integrazione indipendenti, non è male. A questo punto, direi che hai fatto un ottimo lavoro. Complimenti.
Effettivamente, codificando, viene ancora più meccanico. Nel mio caso però, avevo solo una variabile nell'espressione di $z$.Per capire quale delle due parametrizzazioni comporti meno calcoli, bisognerebbe farli. Certo, avere intervalli di integrazione indipendenti, non è male. A questo punto, direi che hai fatto un ottimo lavoro. Complimenti.
Vero ecco dov'era l'inghippo Comunque grazie mille per l'aiuto!! Posso chiederti che cosa studi/hai studiato?
Comunque grazie mille per l'aiuto!! Posso chiederti che cosa studi/hai studiato?
Ho fatto Fisica. Ma l'amavo troppo. E allora, come in molte cose della vita, finisci per perderle.
Capito! Complimenti per preparazione e la disponibilità, e grazie ancora
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