Parametrizzazione superficie.
Salve ragazzi, mi viene chiesto, data la superficie:
y^2+4z^2=1+x^2 con Abs(x)<1
di provare che questa sia sostegno di una superficie regolare e poi calcolare un integrale di superficie su questa.
Immagino quindi che io debba parametrizzarla in qualche modo nella forma r=(x(u,v),y(u.v),z(u,v)) ma non ho la benchè minima idea di come fare!
Un aiuto sarebbe benvenuto!
y^2+4z^2=1+x^2 con Abs(x)<1
di provare che questa sia sostegno di una superficie regolare e poi calcolare un integrale di superficie su questa.
Immagino quindi che io debba parametrizzarla in qualche modo nella forma r=(x(u,v),y(u.v),z(u,v)) ma non ho la benchè minima idea di come fare!
Un aiuto sarebbe benvenuto!
Risposte
Beh tanto per cominciare la potresti riscrivere come:
$$
-x^2+y^2+\frac{z^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1
$$
e questa è l'equazione di un iperboloide iperbolico...
Quindi l'applicazione che stai cercando è banalmente la trasformazione in coordinate iperboliche.
Che per il tuo particolare iperboloide è
$$
\phi(t,k)=\left(\begin{matrix}\cosh(t)\sinh(k) \\ \sinh(t)\sinh(k) \\ \frac{1}{2}\cosh(k)\end{matrix}\right)
$$
$$
-x^2+y^2+\frac{z^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1
$$
e questa è l'equazione di un iperboloide iperbolico...
Quindi l'applicazione che stai cercando è banalmente la trasformazione in coordinate iperboliche.
Che per il tuo particolare iperboloide è
$$
\phi(t,k)=\left(\begin{matrix}\cosh(t)\sinh(k) \\ \sinh(t)\sinh(k) \\ \frac{1}{2}\cosh(k)\end{matrix}\right)
$$
Ok, grazie per la risposta!!. Supponendo che io non abbia gli strumenti per capire cosa rappresenti il luogo di punti rappresentato, c'è un modo per arrivare alla parametrizzazione in qualche modo?
eheheh... non è detto nemmeno che esista una "parametrizzazione" ... devi andare ad occhio... si tratta di un problema di equazioni implicite... cioè l'equazione che abbiamo scritto sopra la puoi vedere come un equazione del tipo:
$$
F(x,y,z)=1
$$
e come ogni altra equazione nessuno ti garantisce nemmeno che esista una soluzione, figuriamoci una parametrizzazione...
Scordati quindi un approccio generale al problema... studiando le equazioni implicite e i teoremi che le riguardano puoi arrivare a svariati risultati e casi particolari per capire l'esistenza o meno delle soluzioni eccetera, piuttosto che le derivate e così via, ma scordati un procedimento univoco, almeno che io sappia... Se poi esiste e qualcuno lo sa, lo prego di illuminarmi
$$
F(x,y,z)=1
$$
e come ogni altra equazione nessuno ti garantisce nemmeno che esista una soluzione, figuriamoci una parametrizzazione...
Scordati quindi un approccio generale al problema... studiando le equazioni implicite e i teoremi che le riguardano puoi arrivare a svariati risultati e casi particolari per capire l'esistenza o meno delle soluzioni eccetera, piuttosto che le derivate e così via, ma scordati un procedimento univoco, almeno che io sappia... Se poi esiste e qualcuno lo sa, lo prego di illuminarmi
Grazie! era proprio la risposta che cercavo! sei stato gentilissimo!
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