Parametrizzazione Segmento
Ciao a tutti , sto svolgendo un' esercizio sugli integrali curvilinei ( di seconda specie ) , e mi viene richiesto di parametrizzare il triangolo di vertici : O(0,0) , A(2,0) , e B(1,3) , con verso di percorrenza che va da 0 a A , da A a B , e da B a O.
La base del triangolo ( quindi da O al punto A) viene parametrizzata in questo modo: \( \begin{cases} x=t \\ y=0 \end{cases} , 0 \leq t \leq 2 \) , e fino a qui capisco , mentre il lato che va da A a B viene parametrizzato come segue: \( \begin{cases} x=2-t \\ y=3t \end{cases}, 0\leq t \leq 1 \). Quello che non capisco in questo caso è come viene scelto l'intervallo di t ,( perchè in questo caso la t varia tra 0 e 1 , se mi sposto sia lungo le ascisse che lungo le ordinate?) , e volevo se c'è una formula da applicare per trovare le parametrizzazioni con intervalli diversi da \( [0,1] \) . Grazie in Anticipo!!
La base del triangolo ( quindi da O al punto A) viene parametrizzata in questo modo: \( \begin{cases} x=t \\ y=0 \end{cases} , 0 \leq t \leq 2 \) , e fino a qui capisco , mentre il lato che va da A a B viene parametrizzato come segue: \( \begin{cases} x=2-t \\ y=3t \end{cases}, 0\leq t \leq 1 \). Quello che non capisco in questo caso è come viene scelto l'intervallo di t ,( perchè in questo caso la t varia tra 0 e 1 , se mi sposto sia lungo le ascisse che lungo le ordinate?) , e volevo se c'è una formula da applicare per trovare le parametrizzazioni con intervalli diversi da \( [0,1] \) . Grazie in Anticipo!!
Risposte
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Ciao Biagio2580,
Beh è semplice e concordo con sellacollesella, anch'io avrei scelto la parametrizzazione in modo da avere sempre $t \in [0, 1]$:
$\bar{OA} = (x, y) = (2t, 0) $
$\bar{AB} = (x, y) = (2 - t, 3t) $
$\bar{BO} = (x, y) = (1 - t, 3 - 3t) $
"Biagio2580":
Quello che non capisco in questo caso è come viene scelto l'intervallo di t ,( perchè in questo caso la t varia tra 0 e 1 , se mi sposto sia lungo le ascisse che lungo le ordinate?)
Beh è semplice e concordo con sellacollesella, anch'io avrei scelto la parametrizzazione in modo da avere sempre $t \in [0, 1]$:
$\bar{OA} = (x, y) = (2t, 0) $
$\bar{AB} = (x, y) = (2 - t, 3t) $
$\bar{BO} = (x, y) = (1 - t, 3 - 3t) $
Quindi posso avere più di una parametrizzazione buona giusto? Inoltre la t la posso prendere sempre tra 0 e 1?
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Grazie mille a entrambi !!! un'ultima cosa , per quanto riguarda invece la parametrizzazione di curve(ad esempio una circonferenza) , negli esercizi viene usata una parametrizzazione con \( cos(t) \) e \( sin(t) \) , con l'intervallo che va ad esempio da \( [0,\pi ] \) , in questo caso c'è sempre una formula fissa?
"Biagio2580":
Grazie mille a entrambi !!!
Prego!
"Biagio2580":
un'ultima cosa , per quanto riguarda invece la parametrizzazione di curve (ad esempio una circonferenza) , negli esercizi viene usata una parametrizzazione con $cos(t)$ e $sin(t)$, con l'intervallo che va ad esempio da $[0,\pi]$
Quella che hai scritto è la parametrizzazione di una semicirconferenza, quella di una circonferenza è ad esempio
${(x(t) = cos t),(y(t) = sin t),(t \in [0, 2\pi)):} $
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Grazie ancora !!! Un'ultimo esempio e chiudo . Devo parametrizzare il triangolo di vertici : O(0,0), A(1,0), B(0,1) , per poi risolvere l'integrale lungo questa curva di: \( \int_{c}^{} (x+y)\, ds \).
ho parametrizzato in questo modo , seguendo la formula con \( t\in[0,1] \) :
Tratto da O ad A: \( \begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=0 \end{cases} \) che avrà norma 1
Tratto da A ad B: \( \begin{cases} x(t)=1-t \\ y(t)=t \end{cases} \) che avrà norma \( \sqrt{2 } \)
Tratto da B a 0: \( \begin{cases} x(t)=0 \\ y(t)=t \end{cases} \) che avrà norma 1
Il tutto con \( t\in[0,1] \).
Ora l'integrale di partenza sarà somma di 3 integrali( perchè appunto la curva è generalmente regolare)(sostituisco i valori della curva al posto di x e y ) , e svolgendo i calcoli mi viene come risultato \( \sqrt{2} /4 \) .
Lo svolgimento dell'esercizio è diverso, anche il risultato , e parametrizza in questo modo :
Tratto da O ad A: \( \begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=0 \end{cases} \) che avrà norma 1, con \( t\in[0,1] \)
Tratto da A ad B: \( \begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=1-t \end{cases} \) che avrà norma \( \sqrt{2 } \) , con \( t\in[1,0] \) (scambia gli estremi in questo caso).
Tratto da B a 0: \( \begin{cases} x(t)=0 \\ y(t)=t \end{cases} \) che avrà norma 1, anche in questo caso con \( t\in[1,0] \) .
Di conseguenza , la somma dei tre integrali , avrà come risultato : \( -\sqrt{2} \) . Dov'è che ho sbagliato?
ho parametrizzato in questo modo , seguendo la formula con \( t\in[0,1] \) :
Tratto da O ad A: \( \begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=0 \end{cases} \) che avrà norma 1
Tratto da A ad B: \( \begin{cases} x(t)=1-t \\ y(t)=t \end{cases} \) che avrà norma \( \sqrt{2 } \)
Tratto da B a 0: \( \begin{cases} x(t)=0 \\ y(t)=t \end{cases} \) che avrà norma 1
Il tutto con \( t\in[0,1] \).
Ora l'integrale di partenza sarà somma di 3 integrali( perchè appunto la curva è generalmente regolare)(sostituisco i valori della curva al posto di x e y ) , e svolgendo i calcoli mi viene come risultato \( \sqrt{2} /4 \) .
Lo svolgimento dell'esercizio è diverso, anche il risultato , e parametrizza in questo modo :
Tratto da O ad A: \( \begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=0 \end{cases} \) che avrà norma 1, con \( t\in[0,1] \)
Tratto da A ad B: \( \begin{cases} x(t)=t \\ y(t)=1-t \end{cases} \) che avrà norma \( \sqrt{2 } \) , con \( t\in[1,0] \) (scambia gli estremi in questo caso).
Tratto da B a 0: \( \begin{cases} x(t)=0 \\ y(t)=t \end{cases} \) che avrà norma 1, anche in questo caso con \( t\in[1,0] \) .
Di conseguenza , la somma dei tre integrali , avrà come risultato : \( -\sqrt{2} \) . Dov'è che ho sbagliato?
Per me è corretta la prima parametrizzazione che hai scritto, a parte $\bar{BO}$ che col percorso antiorario è la seguente:
$ {(x(t)=0),(y(t) = 1 - t):} $
$t \in [0, 1] $
Difficile dirlo se non posti i tuoi calcoli...
$ {(x(t)=0),(y(t) = 1 - t):} $
$t \in [0, 1] $
"Biagio2580":
Dov'è che ho sbagliato?
Difficile dirlo se non posti i tuoi calcoli...
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Si effettivamente ho sbagliato la parametrizzazione in quel punto .. comunque ora verrebbe( se non mi sbaglio):
\( \int_{0}^{1} t\, dt + \int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt + \int_{0}^{1} 1-t\, dt \)
Da cui il primo integrale fa \( 1/2 \) , il secondo \( \sqrt{2} \) , e il terzo ancora \( 1/2 \) , sommandoli: \( 1+\sqrt{2} \) , quindi ancora non mi torna il risultato , dove sbaglio?
\( \int_{0}^{1} t\, dt + \int_{0}^{1} \sqrt{2} \, dt + \int_{0}^{1} 1-t\, dt \)
Da cui il primo integrale fa \( 1/2 \) , il secondo \( \sqrt{2} \) , e il terzo ancora \( 1/2 \) , sommandoli: \( 1+\sqrt{2} \) , quindi ancora non mi torna il risultato , dove sbaglio?
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Bhe , che dire , anche a me viene così , la prof ha utilizzato la seconda parametrizzazione e viene in quel modo , quindi non saprei , grazie mille ragazzi !!!
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