Parametrizzazione regolare curva
Ciao, amici!
Ho un dubbio sulla parametrizzazione di una curva. Se una curva in $RR^2$ è una funzione, cioè di tipo diciamo \(\vec r(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ t \end{pmatrix}\), ed ammette una parametrizzazione regolare (di classe $C^1$ e con \(||\vec r'(t)|| \neq 0\)) a tratti, allora $f(t)$ è necessariamente di classe $C^1$?
Detto in altro modo: se una curva in $RR^2$ è parametrizzabile come \(\vec r(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ t \end{pmatrix}\) ed ammette una parametrizzazione regolare (di classe $C^1$ e con \(||\vec r'(t)|| \neq 0\)) a tratti, allora la parametrizzazione \(\vec r(t)= ( f(t),t )\) è necessariamente regolare a tratti?
Grazie di cuore a chiunque vorrà rispondere!!!!
Ho un dubbio sulla parametrizzazione di una curva. Se una curva in $RR^2$ è una funzione, cioè di tipo diciamo \(\vec r(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ t \end{pmatrix}\), ed ammette una parametrizzazione regolare (di classe $C^1$ e con \(||\vec r'(t)|| \neq 0\)) a tratti, allora $f(t)$ è necessariamente di classe $C^1$?
Detto in altro modo: se una curva in $RR^2$ è parametrizzabile come \(\vec r(t)= \begin{pmatrix} f(t) \\ t \end{pmatrix}\) ed ammette una parametrizzazione regolare (di classe $C^1$ e con \(||\vec r'(t)|| \neq 0\)) a tratti, allora la parametrizzazione \(\vec r(t)= ( f(t),t )\) è necessariamente regolare a tratti?
Grazie di cuore a chiunque vorrà rispondere!!!!
Risposte
Riflettendo sulla questione mi parrebbe che, lungo i tratti regolari, una curva ammette vettore tangente, quindi direi che il grafico di $f(t)$ ammette tangente e perciò $f$ è derivabile, anche se non sono certo che sia di classe $C^1$... Speriamo che non stia dicendo stupidate...
Si si vai tranquillo. E' chiaro che sono cose banalmente equivalenti. Poi tieni conto che una funzione a valori vettoriali è \(C^k\) se e solo se sono \(C^k\) le singole componenti, quindi la cosa è immediata pure da dimostrare.
Grazie di cuore!!! Realizzo che, chiamando una generica parametrizzazione \(\vec r(t)= \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}\), nell'ipotesi che per esempio \(\vec r(t)= \begin{pmatrix} t \\ f(t) \end{pmatrix}\) (e procedendo analogamente se le componenti sono invertite come sopra), si ha, direi, che $f'(t)=(y'(t))/(x'(t))$ è continua se numeratore e denominatore sono continui e \(x'(t) \neq 0\), ma $x'(t)$ non può essere nullo se non in punti isolati, altrimenti non esisterebbe la funzione $f$, e quindi tra uno di questi eventuali punti $t_i$ in cui \(x'(t_i) = 0\) e l'altro si ha che $f \in C^1(t_{i},t_{i+1})$... ma se i punti isolati in cui $x'(t)$ (anche se non lo fa $y'(t)$ data la regolarità a tratti) si annulla fossero infiniti?
$+oo$ grazie!
$+oo$ grazie!
Credo di aver trovato. Forse... Essendo il mio dubbio se, data una curva che abbia una (di quelle possibili) parametrizzazione regolare a tratti ed una parametrizzazione di tipo $\vec r(t)= (t,f(t))$, la funzione $(t,f(t))$ è allora necessariamente di classe $C^1$, ho pensato che, comunque si scelga l'espressione delle componenti scalari di $\vec r$, il versore tangente sarà della forma \(±\frac{\vec r'(t)}{||\vec r'(t)||}\) e quindi continuo dove $\vec r$ è di classe $C^1$ e \(||\vec r'(t)|| \neq 0\). D'altra parte dove la curva si può esprimere come $\vec r(t)= (t,f(t))$ il versore tangente sarà \(\frac{(1,f'(t))}{\sqrt{1+(f'(t))^2}}\), che dovrà quindi essere continuo dove $\vec r$ è regolare (ed esprimibile cartesianamente in tal modo), quindi di numeratore e denominatore continui. Spero di non dire stupidate...
E' un po' confuso ma è giusto.
Grazie di cuore, Dissonance!!! Risposta in tempo reale 
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