Parametrizzazione, integrale curvilineo

[Fab527]

Salve, vi chiedo aiuto per il seguente esercizio:

"Calcolare l'integrale curvilineo $ int_gamma omega $ , dove $ omega = (y+z)dx+(z+x)dy+(x-y)dz $ e $ gamma $ è la circonferenza intersezione tra la superficie sferica di equazione $ x^2 + y^2 +z^2=1 $ e il piano $ z=y $ "

Direi che ciò che devo fare mi è chiaro, ovvero arrivare a questo integrale $ int_(a)^(b) dt $ dove $ F $ è il campo che ricavo dalla forma differenziale e $ r(t) $ la parametrizzazione. Ma il punto è proprio questo: come trovo la parametrizzazione di una circonferenza simile? Io finora ho visto solo parametrizzazioni "semplici", quella di una circonferenza su un piano, di un'elica...ma in questo caso dell'intersezione non so proprio come comportarmi

[ciampax]

Cene sono varie: quella più immediata mi sembra quella di porre $z=y=t$ da cui $x^2+2t^2=1$ che porta a scrivere $x=\pm\sqrt{1-2t^2}$. Questo ti permette di spezzare l'integrale in due (a seconda della scelta $\pm$ per la $x$) e di imporre che $t\in[-1/\sqrt{2},1/\sqrt{2}]$.

In generale, qualsiasi scelta tu faccia, considera che per ottenere la curva dovrai avere $z=y=\alpha(t)$ che impone la scelta
$$x^2+2\alpha^2(t)=1$$
e che da quest'ultima, oltre a ricavare l'espressione $x=\beta(t)$ ricavi anche l'intervallo in cui varia il parametro.