Parametrizzazione di varietà/sottovarietà di $RR^N$

[lordb]

Ciao a tutti,
qualcuno sa (o sa indicarmi dove posso trovare) la dimostrazione che due parametrizzazioni differenti della stessa varietà/sottovarietà di $RR^N$ "differiscono" per un diffeomorfismo ?

Grazie in anticipo

P.s. ma Speculor non c'è più ?

[lordb]

UP

[j18eos]

Quelli che tu affermi è falsissimo (sigh! )

UPDATE: Avendo frainteso la domanda metto in spoiler!

Ad esempio (primo esempio storico dimostrato nel 1984 da Donaldson e Freedman) su \(\mathbb{R}^4\) vi è un'infinità più che numerabile di strutture differenziabili a due a due non diffeomorfe e compatibili con la topologia euclidea, sugli altri \(\mathbb{R}^N\) vi è l'unicità della struttura a meno di diffeomorfismi; oppure su \(\mathbb{S}^7\) vi sono \(28\) distinte strutture differenziabili a meno di diffeomorfismi (Kervaire-Milnor; primo esempio storico di sfera esotica, un caso di cui non si sa nulla in questo senso è \(\mathbb{S}^4\)).

Si usa affermare che per \(\mathbb{R}^4\) ed \(\mathbb{S}^7\) (con le rispettive topologie euclidee) esistono strutture (differenziabili) esotiche.

OUT OF SELF Purtroppo (ignoro i fatti) l'account di speculor è stato cancellato.

[vict85]

X j18eos: non penso sinceramente che intendesse quello. Anche se è un argomento importante.

X lordb: Che definizioni usi esattamente?

[Seneca1]

@j18eos / lordb : L'account di speculor è stato cancellato dietro sua specifica richiesta.

[lordb]

Innanzitutto vi ringrazio per le risposte:

io intendevo la dimostrazione di questo teorema:

$text{Sia } Vsub RR^N; text{sia } m in NN,m<=N,text{sia V una sottovarietà di } RR^N text{di dimensione } m text{ parametrizzabile} $
$text{differenziale: siano} D,D' text{aperti di } RR^m; text{sia } phi:D->V; text{sia } psi:D'->V; text{le funzioni } phi text{ e } psi$
$ text{siano delle parametrizzazioni di V: allora esiste }alpha:D'->D text{ diffeomorfismo tale che } psi=phi ∘ alpha$.

Non esiste questo teorema? E' forse sbagliato ?

@Seneca mi dispiace per speculor, era un utente in gambissima

[j18eos]

@lordb & vict85 Ho frainteso la domanda... comunque basterebbe porre \(\alpha=\varphi^{-1}\circ\psi\)!

@Seneca Grazie; ribadisco il mia dispiacere per speculor!

[lordb]

Ah ok, perfetto.
Grazie per la risposta

[j18eos]

Prego, di nulla;

spero solo che la mia errata interpretazione della domanda ti abbia potenzialmente arricchito.

[lordb]

Sì,grazie. Potresti dirmi se ho capito bene ?

Dunque mentre io intendevo che due "parametrizzazioni" della stessa sottovarietà differiscono per un diffeomorfismo nel senso sopra da me usato, te invece credevi che la mia domanda fosse tipo: "due sottovarietà con stessi invarianti topologici, cioè con la stessa topologia, sono diffeomorfe ?".

Premettendo la mia quantomeno inadeguata conoscenza delle strutture geometrico-differenziabili nonchè della topologia in generale ti chiedo:

- Immagino che due sottovarietà $V,W$ $text{m-dimensionali}$,di uno spazio $n-$dimensionale (Euclideo o altro), si dicano diffeomorfe se esiste un'applicazione $Z:V->W$ diffeomorfismo.

- Quindi mi sembra evidente che se non sono della stessa dimensione sicuramente non sono diffeomorfe.

- Mi sembra quindi logico che se sono diffeomorfe allora sono omeomorfe.

- Se non sono della stessa dimensione però non toglie che possano comunque essere omeomorfe.

- Gli esempi che mi hai portato mostrano come sottovarietà aventi la stessa dimensione benchè omeomorfe non siano diffeomorfe.

[vict85]

Hai capito bene. Di fatto quello che intendeva è che se uno ha un atlante con carte di transizione continue allora non è univocamente determinata una struttura differenziale su di esso (qualora una struttura differenziale possa essere definita).

[j18eos]

"lordb":Sì,grazie...
- Se non sono della stessa dimensione però non toglie che possano comunque essere omeomorfe...

Prego, solo che il concetto di dimensione degli aperti (connessi) di \(\mathbb{R}^n\) con topologia naturale è un invariante topologico (teorema di Brouwer-Lebesgue).

[lordb]

Ah capisco, grazie molte a entrambi