Parametrizzazione di una superficie "piana"
Dubbio teorico sulla parametrizzazione di una particolare superficie.
Ho una superficie "piana" che si trova a quota $z=1$ ed è una ellisse "piena" di semiassi: $a=2$,$b=3$.
Ora, questa superficie è l'insieme: $ Sigma={(x,y,z):z=1,x^2/4+y^2/9<=1} $
La superficie si parametrizza come:
$ Sigma :{ ( x=2rhocostheta ),( y=3rhosintheta ),(z=1 ):},rho in[0,1],thetain[0,2pi] $
Dubbio1: è possibile scrivere questa Superficie sottoforma di equazione cartesiana: $z=f(x,y)$ ?
Avevo pensato di scriverla considerando come superficie tutto il piano : $z=1$
e poi aggiungere come dominio della superficie\condizione che mi permette di tener conto solo di "una porzione di questo piano" : proprio la disuguaglianza : $x^2/4+y^2/9<=1$
Dubbio2: è possibile generalizzare questo risultato e dire che:
"una superficie piana si parametrizza come:
un Sistema in cui :
-le prime due equazioni sono quelle che parametrizzano il dominio piano
-l'ultima è quella che descrive la quota fissata"
Dubbio3: oltre che parlare di "parametrizzazione di una curva" e di "parametrizzazione di una superficie"
è corretto parlare di "parametrizzazione di un dominio"?
Dubbio4: Se si ,è corretto dire che: nel caso di domini che godono di particolari simmetrie rispetto all'origine,
il sistema di equazioni che mi descrivono l'insieme è quello tipico di un cambio di coordinate polari
Ad esempio :
- se ho una curva piana ellisse , la rappresentazione parametrica sarà:
$ { ( x=acostheta ),( y=bsintheta ):}, thetain[0,2pi] $
- se invece ho un dominio piano di bordo l'ellisse , la rappresentazione parametrica sarà data dalle equazioni parametriche della trasformazione in coordinate ellittiche, con i parametri opportunamente fissati (a seconda delle fattezze del dominio da rappresentare) :
$ { ( x=arho costheta ),( y=brhosintheta ):}, rho in [0,1], thetain[0,2pi] $
- e questa rappresentazione parametrica del dominio piano nel sistema cartesiano x-y
è equivalente
a rappresentare quello stesso dominio come un dominio rettangolare nel piano $rho-theta$
cioè come
$ D={(rho,theta): 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi}$
Ho una superficie "piana" che si trova a quota $z=1$ ed è una ellisse "piena" di semiassi: $a=2$,$b=3$.
Ora, questa superficie è l'insieme: $ Sigma={(x,y,z):z=1,x^2/4+y^2/9<=1} $
La superficie si parametrizza come:
$ Sigma :{ ( x=2rhocostheta ),( y=3rhosintheta ),(z=1 ):},rho in[0,1],thetain[0,2pi] $
Dubbio1: è possibile scrivere questa Superficie sottoforma di equazione cartesiana: $z=f(x,y)$ ?
Avevo pensato di scriverla considerando come superficie tutto il piano : $z=1$
e poi aggiungere come dominio della superficie\condizione che mi permette di tener conto solo di "una porzione di questo piano" : proprio la disuguaglianza : $x^2/4+y^2/9<=1$
Dubbio2: è possibile generalizzare questo risultato e dire che:
"una superficie piana si parametrizza come:
un Sistema in cui :
-le prime due equazioni sono quelle che parametrizzano il dominio piano
-l'ultima è quella che descrive la quota fissata"
Dubbio3: oltre che parlare di "parametrizzazione di una curva" e di "parametrizzazione di una superficie"
è corretto parlare di "parametrizzazione di un dominio"?
Dubbio4: Se si ,è corretto dire che: nel caso di domini che godono di particolari simmetrie rispetto all'origine,
il sistema di equazioni che mi descrivono l'insieme è quello tipico di un cambio di coordinate polari
Ad esempio :
- se ho una curva piana ellisse , la rappresentazione parametrica sarà:
$ { ( x=acostheta ),( y=bsintheta ):}, thetain[0,2pi] $
- se invece ho un dominio piano di bordo l'ellisse , la rappresentazione parametrica sarà data dalle equazioni parametriche della trasformazione in coordinate ellittiche, con i parametri opportunamente fissati (a seconda delle fattezze del dominio da rappresentare) :
$ { ( x=arho costheta ),( y=brhosintheta ):}, rho in [0,1], thetain[0,2pi] $
- e questa rappresentazione parametrica del dominio piano nel sistema cartesiano x-y
è equivalente
a rappresentare quello stesso dominio come un dominio rettangolare nel piano $rho-theta$
cioè come
$ D={(rho,theta): 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi}$
Risposte
up
Dubbio 1: una funzione tale a quella che ti immagini tu farebbe questo
$f:RR^2rarrRR$
e vuoi che ti mandi, per ogni $(x,y)inRR^2$, tal vettori in un insieme di punti che formino un'ellisse piena.
Come fai a ottenere una funzione del genere se la quota $z=1$ è fissata?
L'unica risposta che si può dare è quella banale, cioè prendere $f-=1$ e restringere il dominio come hai detto tu...
forse piuttosto, dato che l'ellisse giace su un piano (tra l'altro parallelo a $xy$), avrebbe più senso cercare il bordo di quest'ellisse e descriverlo attraverso (minimo 2, perchè un'ellisse non si può descrivere come $y=f(x)$) funzioni.
Dubbio 2: questo è vero in generale se la quota rimane la stessa, cioè solo nel caso in cui la superficie sia giacente su un piano parallelo a quello $xy$.
Ricorda che puoi avere superfici piane che "cambiano quota", nel caso in cui il piano su cui giace la funzione sia incidente a quello del piano formato dagli assi $xy$. In quel caso dovrai descrivere anche una terza funzione $z=r(rho,theta)$.
Dubbio 3: in che senso? non ho capito
Dubbio 4:
Ok, e questa è la parametrizzazione di un'ellisse generica (solo bordo) sul piano $xy$ rispetto all'angolo theta
Questa è la stessa ellisse generica di prima ma stavolta "piena", bordo compreso.
Da quello che capisco stai chiedendo un modo di caratterizzare il dominio (forse più semplice di quello che hai scritto prima?) in modo da definire una funzione $f:RR^2supeDrarrRR$ che descriva l'ellisse piena del problema...
Ti sfugge però che una tale funzione avrebbe ben poco senso definirla se consideri fissata la quota z.
Nel problema che hai postato la quota è fissata a $z=1$, quindi non ti serve lavorare in tre dimensioni, basta spostarti sul piano $xy$ classico...
E inoltre:
$ D={(rho,theta): 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi} $
è un insieme, come hai detto tu, nel piano $rho theta$, e, a meno che non definisci una relazione tra le variabili $rho theta$ e quelle $xy$, non puoi dire che i due insiemi sono equivalenti.
se imponi, come immagino tu voglia fare, la relazione
$ { ( x=arho costheta ),( y=brhosintheta ):}$
allora avrai che:
$ D={(x,y)inRR^2: x^2/(a^2)+y^2/(b^2)<=1} $
cioè, ricapitolando, D è un'ellisse piena nel piano $xy$ e un rettangolo nel piano $rhotheta$.
$f:RR^2rarrRR$
e vuoi che ti mandi, per ogni $(x,y)inRR^2$, tal vettori in un insieme di punti che formino un'ellisse piena.
Come fai a ottenere una funzione del genere se la quota $z=1$ è fissata?
L'unica risposta che si può dare è quella banale, cioè prendere $f-=1$ e restringere il dominio come hai detto tu...
forse piuttosto, dato che l'ellisse giace su un piano (tra l'altro parallelo a $xy$), avrebbe più senso cercare il bordo di quest'ellisse e descriverlo attraverso (minimo 2, perchè un'ellisse non si può descrivere come $y=f(x)$) funzioni.
Dubbio 2: questo è vero in generale se la quota rimane la stessa, cioè solo nel caso in cui la superficie sia giacente su un piano parallelo a quello $xy$.
Ricorda che puoi avere superfici piane che "cambiano quota", nel caso in cui il piano su cui giace la funzione sia incidente a quello del piano formato dagli assi $xy$. In quel caso dovrai descrivere anche una terza funzione $z=r(rho,theta)$.
Dubbio 3: in che senso? non ho capito
Dubbio 4:
"CallistoBello":
$ { ( x=acostheta ),( y=bsintheta ):}, thetain[0,2pi] $
Ok, e questa è la parametrizzazione di un'ellisse generica (solo bordo) sul piano $xy$ rispetto all'angolo theta
"CallistoBello":
$ { ( x=arho costheta ),( y=brhosintheta ):}, rho in [0,1], thetain[0,2pi] $
Questa è la stessa ellisse generica di prima ma stavolta "piena", bordo compreso.
"CallistoBello":
Questa rappresentazione parametrica del dominio piano nel sistema cartesiano x-y
è equivalente
a rappresentare quello stesso dominio come un dominio rettangolare nel piano $ rho-theta $
cioè come
$ D={(rho,theta): 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi} $
Da quello che capisco stai chiedendo un modo di caratterizzare il dominio (forse più semplice di quello che hai scritto prima?) in modo da definire una funzione $f:RR^2supeDrarrRR$ che descriva l'ellisse piena del problema...
Ti sfugge però che una tale funzione avrebbe ben poco senso definirla se consideri fissata la quota z.
Nel problema che hai postato la quota è fissata a $z=1$, quindi non ti serve lavorare in tre dimensioni, basta spostarti sul piano $xy$ classico...
E inoltre:
$ D={(rho,theta): 0<=rho<=1, 0<=theta<=2pi} $
è un insieme, come hai detto tu, nel piano $rho theta$, e, a meno che non definisci una relazione tra le variabili $rho theta$ e quelle $xy$, non puoi dire che i due insiemi sono equivalenti.
se imponi, come immagino tu voglia fare, la relazione
$ { ( x=arho costheta ),( y=brhosintheta ):}$
allora avrai che:
$ D={(x,y)inRR^2: x^2/(a^2)+y^2/(b^2)<=1} $
cioè, ricapitolando, D è un'ellisse piena nel piano $xy$ e un rettangolo nel piano $rhotheta$.
2)
è il caso di una superficie elicoidale?
3)
Premesso che io posso descrivere
- un sottoinsieme di R2 tramite le coordinate polari nel piano
$ { ( x=rho costheta ),( y=rhosintheta ):}, rho in [0,+oo ),theta in[0,2pi] $
a patto di "fissare opportunamente l'Intervallo in cui variano questi due parametri"
Quello che facciamo qui:
è sostanzialmente : descrivere quel dominio piano con delle equazioni parametriche, no?
Ciò detto: quel sistema di due equazioni parametriche
"è" o "non è" una parametrizzazione di un dominio piano?
Formalmente è corretto?
Oppure posso parlare di parametrizzazione solo per curva e superficie?
"ProPatria":
Ricorda che puoi avere superfici piane che "cambiano quota", nel caso in cui il piano su cui giace la funzione sia incidente a quello del piano formato dagli assi xy. In quel caso dovrai descrivere anche una terza funzione z=r(ρ,θ).
è il caso di una superficie elicoidale?
3)
"ProPatria":
Dubbio 3: in che senso? non ho capito
Premesso che io posso descrivere
- un sottoinsieme di R2 tramite le coordinate polari nel piano
$ { ( x=rho costheta ),( y=rhosintheta ):}, rho in [0,+oo ),theta in[0,2pi] $
a patto di "fissare opportunamente l'Intervallo in cui variano questi due parametri"
Quello che facciamo qui:
"CallistoBello":
- se invece ho un dominio piano di bordo l'ellisse , la rappresentazione parametrica sarà data dalle equazioni parametriche della trasformazione in coordinate ellittiche, con i parametri opportunamente fissati (a seconda delle fattezze del dominio da rappresentare) :
{x=aρcosθy=bρsinθ,ρ∈[0,1],θ∈[0,2π]
è sostanzialmente : descrivere quel dominio piano con delle equazioni parametriche, no?
Ciò detto: quel sistema di due equazioni parametriche
"è" o "non è" una parametrizzazione di un dominio piano?
Formalmente è corretto?
Oppure posso parlare di parametrizzazione solo per curva e superficie?
"CallistoBello":
2)
[quote="ProPatria"]Ricorda che puoi avere superfici piane che "cambiano quota", nel caso in cui il piano su cui giace la funzione sia incidente a quello del piano formato dagli assi xy. In quel caso dovrai descrivere anche una terza funzione z=r(ρ,θ).
è il caso di una superficie elicoidale?
[/quote]
Più semplicemente intendevo il caso di una superficie ellittica giacente su un piano (come quella del problema) ma il cui piano ha un certo angolo di inclinazione rispetto a quello xy.
Immagina di prendere l'ellissi del problema e di "inclinare" il suo piano giacente formando un certo angolo.
"CallistoBello":
Quello che facciamo qui:
[quote="CallistoBello"]- se invece ho un dominio piano di bordo l'ellisse , la rappresentazione parametrica sarà data dalle equazioni parametriche della trasformazione in coordinate ellittiche, con i parametri opportunamente fissati (a seconda delle fattezze del dominio da rappresentare) :
{x=aρcosθy=bρsinθ,ρ∈[0,1],θ∈[0,2π]
è sostanzialmente : descrivere quel dominio piano con delle equazioni parametriche, no?
[/quote]
Non capisco cosa intendi per "Dominio piano".
Qual'è la tua definizione di dominio?
Quello che stai facendo lì è descrivere una superficie bidimensionale con due equazioni parametriche.
"CallistoBello":
Ciò detto: quel sistema di due equazioni parametriche
"è" o "non è" una parametrizzazione di un dominio piano?
Formalmente è corretto?
Oppure posso parlare di parametrizzazione solo per curva e superficie?
Come ti stavo dicendo, quel sistema è una parametrizzazione di una superficie bidimensionale, nello specifico di un'ellisse col bordo...
puoi parametrizzare una curva, una superficie bidimensionale, tridimensionale, n-dimensionale...
se poi vuoi definirci una funzione sopra diventa un dominio ma non ne capisco il senso sinceramente (almeno parlando di "dominio" nel senso che, credo, intendi tu, perchè dominio in matematica vuol dire più cose)
"ProPatria":
Non capisco cosa intendi per "Dominio piano".
Qual'è la tua definizione di dominio?
Quello che stai facendo lì è descrivere una superficie bidimensionale con due equazioni parametriche.
"ProPatria":
Come ti stavo dicendo, quel sistema è una parametrizzazione di una superficie bidimensionale, nello specifico di un'ellisse col bordo...
puoi parametrizzare una curva, una superficie bidimensionale, tridimensionale, n-dimensionale...
"ProPatria":
se poi vuoi definirci una funzione sopra diventa un dominio ma non ne capisco il senso sinceramente (almeno parlando di "dominio" nel senso che, credo, intendi tu, perchè dominio in matematica vuol dire più cose)
Chiaro.
Quelli che io intendo come "domini piani" in realtà sono "superfici bidimensionali nel piano orizzontale", a meno che non ci definisca una $f(x,y)$ sopra.
Queste superfici possono essere descritte dalle coordinate cilindriche nello spazio,
che non sono altro che il sistema costituito dalle coordinate polari nel piano + l'equazione per la quota
Otteniamo una parametrizzazione di una "superficie bidimensionale nel piano orizzontale" (quella che io chiamavo erroneamente "dominio piano")
--> scegliendo come terza equazione $z=costante$
e settando opportunamente il range su cui variano i due parametri che mi descrivono l'insieme del piano.
"ProPatria":
Immagina di prendere l'ellissi del problema e di "inclinare" il suo piano giacente formando un certo angolo
In tal caso, avrei una terza componente della parametrizzazione di quella superficie bidimensionale , che dipende dall'angolo che il piano su cui giace l'ellisse forma con l'asse z
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