Parametrizzazione di una superficie
Salve, mi si chiede di parametrizzare la seguente "porzione" di Superficie Sferica:
${(x,y,z): x^2+y^2+z^2=R^2,sqrt(x^2+y^2)<=R/2,z>0}$
Personalmente avevo pensato ad una superficie nel semispazio superiore che
- per un tratto è un Cilindro di raggio: $R/2$
- e poi si chiude con una calotta sferica : di raggio $R/2$ ,
ad altezza: quota z in cui la superficie cilindro di raggio $R/2$ interseca la superficie sfera di raggio $R$
Il problema è che: non riesco ad individuare quale sia la curva tale che messa in rotazione mi genera questa Superficie.
Suggerimenti?
${(x,y,z): x^2+y^2+z^2=R^2,sqrt(x^2+y^2)<=R/2,z>0}$
Personalmente avevo pensato ad una superficie nel semispazio superiore che
- per un tratto è un Cilindro di raggio: $R/2$
- e poi si chiude con una calotta sferica : di raggio $R/2$ ,
ad altezza: quota z in cui la superficie cilindro di raggio $R/2$ interseca la superficie sfera di raggio $R$
Il problema è che: non riesco ad individuare quale sia la curva tale che messa in rotazione mi genera questa Superficie.
Suggerimenti?
Risposte
Non c'e' il cilindro di cui parli.
Il cilindro non soddisfa $ x^2+y^2+z^2=R^2$.
La superficie e' la sola calotta sferica.
Perche' poi la calotta avrebbe raggio $R/2$. La calotta e' una parte della sfera, quindi ha lo stesso raggio della sfera.
Se ci pensi un attimo risolvere questo esercizio usando le coordinate sferiche e' immediato.
La soluzione: $(R, \theta, \varphi)$
con
$\theta \in [0, \pi/6]$
$\varphi \in [0, 2\pi]$
Prova a rispondere lo stesso alla domanda che ti sei fatto:
qual e' la linea che ruotata mi genera la calotta sferica?
Il cilindro non soddisfa $ x^2+y^2+z^2=R^2$.
La superficie e' la sola calotta sferica.
Perche' poi la calotta avrebbe raggio $R/2$. La calotta e' una parte della sfera, quindi ha lo stesso raggio della sfera.
Se ci pensi un attimo risolvere questo esercizio usando le coordinate sferiche e' immediato.
La soluzione: $(R, \theta, \varphi)$
con
$\theta \in [0, \pi/6]$
$\varphi \in [0, 2\pi]$
Prova a rispondere lo stesso alla domanda che ti sei fatto:
qual e' la linea che ruotata mi genera la calotta sferica?
Illustro il ragionamento che mi ha portato a queste conclusioni, così puoi sottolineare cos'è che non è andato.
[INIZIO RAGIONAMENTO]
Però se si considera la disequazione $ sqrt(x^2+y^2)<=R/2 $ si ha che:
- nel piano: rappresenta un cerchio di raggio: $R/2$
--> quindi nello spazio, lasciando variare la variabile z in tutto \( \Re \), diventa un cilindro infinito , no?
Perché la base di quella calotta , verrebbe ad essere formata dalla base di quel cilindro
dove
la base di quel Cilindro è proprio quel cerchio nel piano descritto da : ${(x,y):x^2+y^2<=R/2}$
(cioè un cerchio di raggio: metà raggio della sfera)
[FINE RAGIONAMENTO]
Ci sono un paio di punti che non mi sono chiari:
1)
Non sono d'accordo.
R è la distanza dal punto (0,0,0) di un qualsiasi punto della superficie sferica
Ma se ci mettiamo ad una quota z , allora la distanza del centro della base di quella calotta sferica dai punti della superficie sferica non è più R , perché non stiamo più considerando la distanza dal punto (0,0,0) , ma la distanza da un punto (0,0,z_0).
2)
Mi trovo , perché quella è l'equazione cartesiana di una sfera(Superficie) non di un cilindro.
Però c'è da considerare anche che : dobbiamo rispettare la condizione $ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)<=R/2} $
Condizione che mi seleziona le porzioni di sfera(solido) : cilindro interno (solido) e calotta sferica(solido+superficie comune con la sfera)
[mia interpretazione dei suggerimenti]
Ora , alla 2) credo di aver capito il motivo per cui non si considera quel cilindro, ovvero che:
<< a noi interessa trovare porzioni di " " superficie" " sfera NON porzioni del ""solido"" sfera>>.
Dunque, siccome
quel Cilindro (solido) non ha nessun punto in comune con la ""superficie"" della sfera
--> "non mi individua nessuna porzione di Superficie"
Per quanto riguarda la 1) :
continuo a non capire come mai , una calotta ad altezza: h , debba avere stesso raggio della sfera.
Suggerimenti?
Un arco di circonferenza nel piano xOz ?
[INIZIO RAGIONAMENTO]
"Quinzio":
Il cilindro non soddisfa x2+y2+z2=R2
Però se si considera la disequazione $ sqrt(x^2+y^2)<=R/2 $ si ha che:
- nel piano: rappresenta un cerchio di raggio: $R/2$
--> quindi nello spazio, lasciando variare la variabile z in tutto \( \Re \), diventa un cilindro infinito , no?
"Quinzio":
Perche' poi la calotta avrebbe raggio R2. La calotta e' una parte della sfera, quindi ha lo stesso raggio della sfera.
Perché la base di quella calotta , verrebbe ad essere formata dalla base di quel cilindro
dove
la base di quel Cilindro è proprio quel cerchio nel piano descritto da : ${(x,y):x^2+y^2<=R/2}$
(cioè un cerchio di raggio: metà raggio della sfera)
[FINE RAGIONAMENTO]
Ci sono un paio di punti che non mi sono chiari:
1)
"Quinzio":
La calotta e' una parte della sfera, quindi ha lo stesso raggio della sfera.
Non sono d'accordo.
R è la distanza dal punto (0,0,0) di un qualsiasi punto della superficie sferica
Ma se ci mettiamo ad una quota z , allora la distanza del centro della base di quella calotta sferica dai punti della superficie sferica non è più R , perché non stiamo più considerando la distanza dal punto (0,0,0) , ma la distanza da un punto (0,0,z_0).
2)
"Quinzio":
Il cilindro non soddisfa x2+y2+z2=R2.
Mi trovo , perché quella è l'equazione cartesiana di una sfera(Superficie) non di un cilindro.
Però c'è da considerare anche che : dobbiamo rispettare la condizione $ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)<=R/2} $
Condizione che mi seleziona le porzioni di sfera(solido) : cilindro interno (solido) e calotta sferica(solido+superficie comune con la sfera)
[mia interpretazione dei suggerimenti]
Ora , alla 2) credo di aver capito il motivo per cui non si considera quel cilindro, ovvero che:
<< a noi interessa trovare porzioni di " " superficie" " sfera NON porzioni del ""solido"" sfera>>.
Dunque, siccome
quel Cilindro (solido) non ha nessun punto in comune con la ""superficie"" della sfera
--> "non mi individua nessuna porzione di Superficie"
Per quanto riguarda la 1) :
continuo a non capire come mai , una calotta ad altezza: h , debba avere stesso raggio della sfera.
Suggerimenti?
"Quinzio":
Prova a rispondere lo stesso alla domanda che ti sei fatto:
qual e' la linea che ruotata mi genera la calotta sferica?
Un arco di circonferenza nel piano xOz ?
Ciao CallistoBello,
Se per caso la parametrizzazione ti serve poi per calcolare un integrale di superficie, a seconda anche della funzione integranda potrebbero farti comodo le coordinate cilindriche:
$\rho = \sqrt(x^2+y^2) $
$x = \rho cos\theta $
$y = \rho sin\theta $
$\theta \in [0, 2\pi) $
Sicchè si ha:
$0 \le \rho \le R/2 $
$0 < z = \sqrt(R^2-\rho^2) $
(ove naturalmente per $\rho = 0$ si ha $z = R $, mentre per $\rho = R/2 $ si ha $z = \sqrt3/2 R $)
$0 \le \theta < 2\pi $
"CallistoBello":
Salve, mi si chiede di parametrizzare la seguente "porzione" di Superficie Sferica:
$ {(x,y,z): x^2+y^2+z^2=R^2,\sqrt(x^2+y^2)<=R/2,z>0} $
Se per caso la parametrizzazione ti serve poi per calcolare un integrale di superficie, a seconda anche della funzione integranda potrebbero farti comodo le coordinate cilindriche:
$\rho = \sqrt(x^2+y^2) $
$x = \rho cos\theta $
$y = \rho sin\theta $
$\theta \in [0, 2\pi) $
Sicchè si ha:
$0 \le \rho \le R/2 $
$0 < z = \sqrt(R^2-\rho^2) $
(ove naturalmente per $\rho = 0$ si ha $z = R $, mentre per $\rho = R/2 $ si ha $z = \sqrt3/2 R $)
$0 \le \theta < 2\pi $
"CallistoBello":
Illustro il ragionamento che mi ha portato a queste conclusioni, così puoi sottolineare cos'è che non è andato.
[INIZIO RAGIONAMENTO]
[quote="Quinzio"]Il cilindro non soddisfa x2+y2+z2=R2
Però se si considera la disequazione $ sqrt(x^2+y^2)<=R/2 $ si ha che:
- nel piano: rappresenta un cerchio di raggio: $R/2$
--> quindi nello spazio, lasciando variare la variabile z in tutto \( \Re \), diventa un cilindro infinito , no?
[/quote]
Certo, e' verissimo.
Per essere precisi il cilindro e' una superficie non un solido, mentre quello di cui stai parlando e' un solido, un volume.
Basta fare una ricerca di 2 secondi su Google e vedi subito che il cilindro e' : "Più in generale, data una curva ed una retta, un cilindro è la superficie rigata costituita dalle rette parallele".
Anche la pagina di Wikipedia ti dice nella prima riga che il cilindro e' una quadrica quindi una superficie.
Comunque sia, ho capito il tuo ragionamento.
Il problema e' che nel tuo esercizio le tre equazioni/disequazioni devono essere verificate in ogni punto della superficie.
Le 3 dis/equazioni sono per essere chiari: $ x^2+y^2+z^2=R^2,sqrt(x^2+y^2)<=R/2,z>0 $.
Se prendi $sqrt(x^2+y^2)<=R/2$ da sola, sono d'accordo con te, ma non parliamo piu' del tuo esercizio, e' una cosa diversa.
"Quinzio":
Perche' poi la calotta avrebbe raggio R2. La calotta e' una parte della sfera, quindi ha lo stesso raggio della sfera.
Perché la base di quella calotta , verrebbe ad essere formata dalla base di quel cilindro
dove
la base di quel Cilindro è proprio quel cerchio nel piano descritto da : ${(x,y):x^2+y^2<=R/2}$
(cioè un cerchio di raggio: metà raggio della sfera)
Si ok, di nuovo, capisco il tuo ragionamento, ma ci sono diverse imprecisioni.
La calotta non ha un base. Quello di cui parli tu e' la proiezione della calotta sul piano $xy$. Quella si che' e' un cerchio di raggio R/2. Il problema pero' e' che questa informazione mi dice poco sulla calotta.
La calotta e' contenuta in un cilindro di raggio R/2. Ok, ma non mene faccio nulla.
Voglio dire, anche la Torre di Pisa e' contenuta in una sfera di raggio 100 metri. E quindi ? Non e' che mi serve a molto questa informazione. Cosa ho capito della Torre in base a questa informazione ? Praticamente nulla.
[FINE RAGIONAMENTO]
Ci sono un paio di punti che non mi sono chiari:
1)"Quinzio":
La calotta e' una parte della sfera, quindi ha lo stesso raggio della sfera.
Non sono d'accordo.
R è la distanza dal punto (0,0,0) di un qualsiasi punto della superficie sferica
Ma se ci mettiamo ad una quota z , allora la distanza del centro della base di quella calotta sferica dai punti della superficie sferica non è più R , perché non stiamo più considerando la distanza dal punto (0,0,0) , ma la distanza da un punto (0,0,z_0).
Si ok, anche qui non e' sbagliato quello che scrivi, ma non mi serve a molto.
Se prendi il punto $P = (10,10,10)$, ogni punto della calotta avra' la sua distanza da $P$.
Il fatto e' : a cosa mi serve sapere questa cosa ?
Ok
2)"Quinzio":
Il cilindro non soddisfa x2+y2+z2=R2.
Mi trovo , perché quella è l'equazione cartesiana di una sfera(Superficie) non di un cilindro.
Però c'è da considerare anche che : dobbiamo rispettare la condizione $ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)<=R/2} $
Condizione che mi seleziona le porzioni di sfera(solido) : cilindro interno (solido) e calotta sferica(solido+superficie comune con la sfera)
[mia interpretazione dei suggerimenti]
Ora , alla 2) credo di aver capito il motivo per cui non si considera quel cilindro, ovvero che:
<< a noi interessa trovare porzioni di " " superficie" " sfera NON porzioni del ""solido"" sfera>>.
Dunque, siccome
quel Cilindro (solido) non ha nessun punto in comune con la ""superficie"" della sfera
--> "non mi individua nessuna porzione di Superficie"
Per quanto riguarda la 1) :
continuo a non capire come mai , una calotta ad altezza: h , debba avere stesso raggio della sfera.
Perche' e' cosi' , perche' e' vero.
Anche se la calotta e' solo una parte della sfera, le proprieta' della sfera continuano a valere anche per la calotta.
Capisco che forse ti sembra strano dire che la calotta ha un raggio, ma non c'e' nulla di strano.
Se prendi un pezzo di stoffa blu e ne tagli un pezzo, anche il pezzo continua ad essere blu, non e' che cambia colore.
Se tutti i punti della sfera hanno distanza fissa dal centro e prendi una parte dei punti, quella proprieta' rimane, no ?
La definizione della sfera e': l'unione dei punti che hanno distanza fissa da un punto detto centro. La distanza e' detta raggio.
Ora chiediti: i punti della calotta hanno distanza fissa dal centro ?
Suggerimenti?
"Quinzio":
Prova a rispondere lo stesso alla domanda che ti sei fatto:
qual e' la linea che ruotata mi genera la calotta sferica?
Un arco di circonferenza nel piano xOz ?
Si, ok. Pero' dovresti scrivere l'equazione parametrica dell'arco.
Quindi
1) per quanto riguarda la calotta sferica:
In realtà bisogna saper distinguere:
def(calotta sferica, come superficie):
<< ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante>>
def(calotta sferica, come solido): più precisamente si parla di SEGMENTO SFERICO
<>
Ora, essendo la calotta sferica null'altro che "una porzione di superficie sferica", chiaro è che:
"tutti i punti di quella porzione di superficie saranno individuati da un vettore posizione(rispetto l'origine) r , di modulo : il Raggio R della sfera"
2) per quanto riguarda il Cilindro:
def(Cilindro , come superficie):
$ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)=R/2} $
def(Cilindro , come solido):
$ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)<=R/2} $
Ora, tenendo sempre a mente che
e che
Questa è la stessa cosa che dire che:
Ma dire che "è verificato quel Sistema di tre condizioni" , dal punto di vista geometrico significa dire che: "ci interessano i punti comuni tra 'il semi-cilindro superiore pieno\solido' e la superficie sferica"
Questo insieme di punti comuni è proprio: la superficie CALOTTA SFERICA
E' la stessa parametrizzazione di una circonferenza "nel piano xOz" di raggio: il Raggio della sfera, ma col parametro settato in quel giusto range di valori necessario ad individuare l'arco desiderato.
\( \begin{cases} x(\varphi)=Rsin(\varphi) \\ z(\varphi)=Rcos(\varphi) \end{cases} \)
\( \underline{r} ( \varphi)=(Rsin \varphi,R cos\varphi) \) con $\varphi in [0,?]$
Problema: come faccio a sapere "di quanto deve spaziare" l'angolo zenitale che mi individua l'arco di curva (che poi messo in rotazione mi individua quella calotta sferica)?
Se conoscessi il valore di R, potrei ragionare nel piano
e considerare il triangolo rettangolo
-di vertice $\varphi$
-e cateti: il modulo del vettore posizione = $R$
metà diametro della proiezione della calotta sul piano secante che la individua: $R/2$
- la quota : $h$ in cui quel piano è secante alla sfera
[intuizione]
Potrei rivedere quella condizione del cilindro ovvero : $sqrt(x^2+y^2)<=R/2$ in termini di grafico di funzione cioè come $f(x,y)<=R/2$
Dopodiché, mi vado a considerare la restrizione di quella funzione alla parametrizzazione della superficie sfera:
$f(r(\varphi))=(Rsin\varphi cos theta)^2+ (Rsin \varphi sin theta)^2$
che diventa una funzione di 1 variabile ($/varphi$) il cui grafico mi individua la curva cercata
e poi chiedermi : per quali valori di $\varphi$ è verificata questa condizione:
$(Rsin\varphi cos theta)^2+ (Rsin \varphi sin theta)^2 <= R^2/4$
$R^2 sin^2 \varphi (cos^2theta + sin^2theta)<=R^2/4$
$R^2 sin^2 \varphi <= R^2/4$
$sin^2 \varphi<=1/4$
$sin \varphi = 1/2$ sse $ \varphi =arcsin(1/2)=pi/6$
Quindi $ \varphi <=pi/6$
1) per quanto riguarda la calotta sferica:
In realtà bisogna saper distinguere:
def(calotta sferica, come superficie):
<< ciascuna delle parti in cui la superficie di una sfera è suddivisa da un piano secante>>
def(calotta sferica, come solido): più precisamente si parla di SEGMENTO SFERICO
<
Ora, essendo la calotta sferica null'altro che "una porzione di superficie sferica", chiaro è che:
"tutti i punti di quella porzione di superficie saranno individuati da un vettore posizione(rispetto l'origine) r , di modulo : il Raggio R della sfera"
2) per quanto riguarda il Cilindro:
def(Cilindro , come superficie):
$ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)=R/2} $
def(Cilindro , come solido):
$ {(x,y,z): sqrt(x^2+y^2)<=R/2} $
Ora, tenendo sempre a mente che
<< a noi interessa trovare porzioni di " " superficie" " sfera
NON porzioni del ""solido"" sfera>>.
e che
"Quinzio":
Il problema e' che nel tuo esercizio le tre equazioni/disequazioni devono essere verificate in ogni punto della superficie.
Le 3 dis/equazioni sono per essere chiari:$ x^2+y^2+z^2=R^2,sqrt(x^2+y^2)≤R^2,z>0$.
Se prendi $sqrt(x^2+y^2)≤R^2 $da sola, sono d'accordo con te, ma non parliamo piu' del tuo esercizio, e' una cosa diversa.
"Quinzio":
Il cilindro non soddisfa $x^2+y^2+z^2=R^2$.
Questa è la stessa cosa che dire che:
"CallistoBello":
quel Cilindro (solido\parte interna del cilindro che sta all'interno della sfera) non ha nessun punto in comune con la ""superficie"" della sfera
--> "non mi individua nessuna porzione di Superficie"
Ma dire che "è verificato quel Sistema di tre condizioni" , dal punto di vista geometrico significa dire che: "ci interessano i punti comuni tra 'il semi-cilindro superiore pieno\solido' e la superficie sferica"
Questo insieme di punti comuni è proprio: la superficie CALOTTA SFERICA
"Quinzio":
Si, ok. Pero' dovresti scrivere l'equazione parametrica dell'arco.
E' la stessa parametrizzazione di una circonferenza "nel piano xOz" di raggio: il Raggio della sfera, ma col parametro settato in quel giusto range di valori necessario ad individuare l'arco desiderato.
\( \begin{cases} x(\varphi)=Rsin(\varphi) \\ z(\varphi)=Rcos(\varphi) \end{cases} \)
\( \underline{r} ( \varphi)=(Rsin \varphi,R cos\varphi) \) con $\varphi in [0,?]$
Problema: come faccio a sapere "di quanto deve spaziare" l'angolo zenitale che mi individua l'arco di curva (che poi messo in rotazione mi individua quella calotta sferica)?
Se conoscessi il valore di R, potrei ragionare nel piano
e considerare il triangolo rettangolo
-di vertice $\varphi$
-e cateti: il modulo del vettore posizione = $R$
metà diametro della proiezione della calotta sul piano secante che la individua: $R/2$
- la quota : $h$ in cui quel piano è secante alla sfera
[intuizione]
Potrei rivedere quella condizione del cilindro ovvero : $sqrt(x^2+y^2)<=R/2$ in termini di grafico di funzione cioè come $f(x,y)<=R/2$
Dopodiché, mi vado a considerare la restrizione di quella funzione alla parametrizzazione della superficie sfera:
$f(r(\varphi))=(Rsin\varphi cos theta)^2+ (Rsin \varphi sin theta)^2$
che diventa una funzione di 1 variabile ($/varphi$) il cui grafico mi individua la curva cercata
e poi chiedermi : per quali valori di $\varphi$ è verificata questa condizione:
$(Rsin\varphi cos theta)^2+ (Rsin \varphi sin theta)^2 <= R^2/4$
$R^2 sin^2 \varphi (cos^2theta + sin^2theta)<=R^2/4$
$R^2 sin^2 \varphi <= R^2/4$
$sin^2 \varphi<=1/4$
$sin \varphi = 1/2$ sse $ \varphi =arcsin(1/2)=pi/6$
Quindi $ \varphi <=pi/6$
Scusate se mi inserisco. Volevo solo dirvi come io decifro le condizioni che definiscono la superficie. Spero che il contributo sia utile.
E' chiaro che (chiamo $S$ la superficie definita sopra).
$S={x^2+y^2+z^2=R^2}\cap{\sqrt{x^2+y^2}\leq\frac{R}{2}}\cap{z>0}$
Dunque $S$ è un sottoinsieme della sfera di raggio $R$ e si ottiene INTERSECANDO la sfera con il "cilindro pieno" di raggio $R/2$ (con asse sull'asse $z$ e il semipiano degli $z>0$). Se uso le coordinate sferiche $x=R\cos(\theta)\sin(\phi)$, $y=R\sin(\theta)\sin(\phi)$, $z=R\cos(\phi)$, io mi chiederei dove devono variare $\theta$ e $\phi$ per descrivere questa intersezione.
"CallistoBello":
Salve, mi si chiede di parametrizzare la seguente "porzione" di Superficie Sferica:
${(x,y,z): x^2+y^2+z^2=R^2,sqrt(x^2+y^2)<=R/2,z>0}$.
E' chiaro che (chiamo $S$ la superficie definita sopra).
$S={x^2+y^2+z^2=R^2}\cap{\sqrt{x^2+y^2}\leq\frac{R}{2}}\cap{z>0}$
Dunque $S$ è un sottoinsieme della sfera di raggio $R$ e si ottiene INTERSECANDO la sfera con il "cilindro pieno" di raggio $R/2$ (con asse sull'asse $z$ e il semipiano degli $z>0$). Se uso le coordinate sferiche $x=R\cos(\theta)\sin(\phi)$, $y=R\sin(\theta)\sin(\phi)$, $z=R\cos(\phi)$, io mi chiederei dove devono variare $\theta$ e $\phi$ per descrivere questa intersezione.
"ViciousGoblin":
Dunque S è un sottoinsieme della sfera di raggio R e si ottiene INTERSECANDO la sfera con il "cilindro pieno" di raggio R2 (con asse sull'asse z e il semipiano degli z>0).
Sono d'accordo
"ViciousGoblin":
Se uso le coordinate sferiche x=Rcos(θ)sin(ϕ), y=Rsin(θ)sin(ϕ), z=Rcos(ϕ), io mi chiederei dove devono variare θ e ϕ per descrivere questa intersezione.
Con θ:= angolo azimutale,
$θ in [0,2pi]$ perché deve descrivere tutta la superficie: calotta sferica
Ma $ϕ $ ?
"CallistoBello":
Ma $ϕ $ ?
In effetti quello è il problema
.Mi pare che tu abbia due possibilità:
(1) lo capisci graficamente, magari mettendoti nel piano $x,z$ (tanto poi la figura è la stessa in ogni piano che contiene l'asse $z$)
(2) studi le disequazioni $\sqrt{x^2+y^2}\leq R/2$ e $z>0$ in termini di $\phi$. Viene:
$R\sqrt{\sin^2(\phi)}\leq R/2$ e $R\cos(\phi)>0$.
....
"ViciousGoblin":
(2) studi le disequazioni x2+y2≤R2 e z>0 in termini di ϕ. Viene:
R2sin2(ϕ)≤R2 e Rcos(ϕ)>0.
In pratica:
1°. mi devo chiedere:
<< per quali valori dell'angolo \( (\phi ) \) ,
la parametrizzazione della curva \( \underline{r} (\phi ) \) (e quindi le coordinate che descrivono i Punti di quella Curva) soddisfano "in contemporanea" le due condizioni $ x^2+y^2≤R^2$ e $z>0$ >>
Quindi abbiamo: $x(\phi)^2+y(\phi)^2<=R^2$ e $z(\phi)>0$
e cioè, considerato che $y(\phi)=0$ perché la curva vive nel Piano xOz
ci dobbiamo chiedere per quali valori è verificato il sistema:
$ { ( R^2sin^2phi<=R^2/4 ),( R^2cosphi>0 ):} $
da cui si ha:
$ { ( sin^2phi<=1/4 ->sinphi<=1/2),( cosphi>0 ):} $
- dalla 2° disequazione abbiamo : $3/2pi
-dalla 1° disequazione , abbiamo che:
considerata l'equazione: $sinphi=1/2$ quando $phi=pi/6+2pi$
possiamo dire che : $sin^2phi<=1/4$ per tutte le $phi$ in $[0,pi/6+2pi]$
(che quindi verificano anche la 2° disequazione)
Risultato: $phi in [0,pi/6]$
Corretto?
Scusa se nella mia risposte precedente mi ero perso una radice - ho corretto.
In pratica:
1°. mi devo chiedere:
<< per quali valori dell'angolo \( (\phi ) \) ,
la parametrizzazione della curva \( \underline{r} (\phi ) \) (e quindi le coordinate che descrivono i Punti di quella Curva) soddisfano "in contemporanea" le due condizioni $ x^2+y^2≤R^2$ e $z>0$ >>
Quindi abbiamo: $x(\phi)^2+y(\phi)^2<=R^2$ e $z(\phi)>0$
e cioè, considerato che $y(\phi)=0$ perché la curva vive nel Piano xOz
ci dobbiamo chiedere per quali valori è verificato il sistema:
$ { ( R^2sin^2phi<=R^2/4 ),( R^2cosphi>0 ):} $
da cui si ha:
$ { ( sin^2phi<=1/4 ->sinphi<=1/2),( cosphi>0 ):} $
- dalla 2° disequazione abbiamo : $3/2pi
[/quote]
Io direi $0\leq\phi<\frac{\pi}{2}$ perché nelle coordinate sferiche $\phi$ varia tra $0$ e $\pi$. Peraltro se pensavi a $\phi$ tra $0$ e $2\pi$ avresti dovuto scrivere $0\leq\phi<\frac{\pi}{2}$ o $\frac{3\pi}{2}<\phi\leq2\pi$. Non c'è nessuna $\phi$ con $3/2pi
Qui ti potresti restringere all'intevallo $[0,\pi/2[$ trovato sopra, in cui $\sin(\phi)$ è crescente e vale $1/2$ esattamente in $\phi=\pi/6$. Dunque il risultato finale è giusto.
Però mi pare che se tu volessi risolvere la disequazione $\sin^2(\phi)\leq1/4$ nell'intervallo $[0,2\pi]$ troveresti parecchia altra roba rispetto a ciò che dici (se ho capito). In effetti $\sin^2(\phi)\leq 1/4$ equivale a $0\leq\phi\leq\pi/6$ oppure $5\pi/6\leq\phi\leq7\pi/6$ oppure $11\pi/6\leq\phi\leq2\pi$ -se non sbaglio.
Alla fine $[0,\pi/6]$ mè giusto!
"CallistoBello":
[quote="ViciousGoblin"](2) studi le disequazioni x2+y2≤R2 e z>0 in termini di ϕ. Viene:
R2sin2(ϕ)≤R2 e Rcos(ϕ)>0.
In pratica:
1°. mi devo chiedere:
<< per quali valori dell'angolo \( (\phi ) \) ,
la parametrizzazione della curva \( \underline{r} (\phi ) \) (e quindi le coordinate che descrivono i Punti di quella Curva) soddisfano "in contemporanea" le due condizioni $ x^2+y^2≤R^2$ e $z>0$ >>
Quindi abbiamo: $x(\phi)^2+y(\phi)^2<=R^2$ e $z(\phi)>0$
e cioè, considerato che $y(\phi)=0$ perché la curva vive nel Piano xOz
ci dobbiamo chiedere per quali valori è verificato il sistema:
$ { ( R^2sin^2phi<=R^2/4 ),( R^2cosphi>0 ):} $
da cui si ha:
$ { ( sin^2phi<=1/4 ->sinphi<=1/2),( cosphi>0 ):} $
- dalla 2° disequazione abbiamo : $3/2pi
[/quote]
Io direi $0\leq\phi<\frac{\pi}{2}$ perché nelle coordinate sferiche $\phi$ varia tra $0$ e $\pi$. Peraltro se pensavi a $\phi$ tra $0$ e $2\pi$ avresti dovuto scrivere $0\leq\phi<\frac{\pi}{2}$ o $\frac{3\pi}{2}<\phi\leq2\pi$. Non c'è nessuna $\phi$ con $3/2pi
"CallistoBello":
-dalla 1° disequazione , abbiamo che:
considerata l'equazione: $sinphi=1/2$ quando $phi=pi/6+2pi$
Qui ti potresti restringere all'intevallo $[0,\pi/2[$ trovato sopra, in cui $\sin(\phi)$ è crescente e vale $1/2$ esattamente in $\phi=\pi/6$. Dunque il risultato finale è giusto.
Però mi pare che se tu volessi risolvere la disequazione $\sin^2(\phi)\leq1/4$ nell'intervallo $[0,2\pi]$ troveresti parecchia altra roba rispetto a ciò che dici (se ho capito). In effetti $\sin^2(\phi)\leq 1/4$ equivale a $0\leq\phi\leq\pi/6$ oppure $5\pi/6\leq\phi\leq7\pi/6$ oppure $11\pi/6\leq\phi\leq2\pi$ -se non sbaglio.
"CallistoBello":
possiamo dire che : $sin^2phi<=1/4$ per tutte le $phi$ in $[0,pi/6+2pi]$
(che quindi verificano anche la 2° disequazione)
Risultato: $phi in [0,pi/6]$
Corretto?
Alla fine $[0,\pi/6]$ mè giusto!
"ViciousGoblin":
Alla fine [0,π6] mè giusto!
"ViciousGoblin":
avresti dovuto scrivere 0≤ϕ<π2 o 3π2<ϕ≤2π. Non c'è nessuna ϕ con 32π<ϕ<π2
Si, perché gli angoli si misurano in senso antiorario
"ViciousGoblin":
Però mi pare che se tu volessi risolvere la disequazione sin2(ϕ)≤14 nell'intervallo [0,2π] troveresti parecchia altra roba rispetto a ciò che dici (se ho capito).
Si ho capito cosa intendi: circonferenza goniometrica , retta orizzontale y=1/2 che mi individua i due angoli $pi/6$ e $5/6pi$ e poi si considerano gli Intervalli di valori tali per cui :
il seno di quell'angolo "è un valore che sta al di sotto " della retta orizzontale
quindi : $0<=phi<=pi/6$ U $5/6pi <=phi<=2pi$
"ViciousGoblin":
Alla fine [0,π6] mè giusto!
Grazie mille a tutti
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