Parametrizzazione curva
Ciao a tutti ho da poco fatto l’esame di analisi 2 e uno degli esercizi chiedeva di parametrizzare la seguente:
La curva è data dall’intersezione tra $x^2+y^2+2y-1/2z^2=0$ E $z-x/\sqrt 2=0$
Avevo chiesto e risolto qui sul forum un esercizio simile qualche giorno fa però in questo caso non ho saputo veramente come risolvere. La prima idea è stata quella di isolare la z nella seconda equazione e quindi sostituirla nella prima, mi aspettavo delle semplificazioni però quei termini di secondo grado mi hanno dato parecchio fastidio.
Grazie anticipatamente a chiunque voglia aiutarmi.
La curva è data dall’intersezione tra $x^2+y^2+2y-1/2z^2=0$ E $z-x/\sqrt 2=0$
Avevo chiesto e risolto qui sul forum un esercizio simile qualche giorno fa però in questo caso non ho saputo veramente come risolvere. La prima idea è stata quella di isolare la z nella seconda equazione e quindi sostituirla nella prima, mi aspettavo delle semplificazioni però quei termini di secondo grado mi hanno dato parecchio fastidio.
Grazie anticipatamente a chiunque voglia aiutarmi.
Risposte
Ti aiuto ma devi collaborare. Inizia col sostituire e trovare la curva...che si vede subito che è un ellisse.
Allora sostituendo e semplificando ottengo $3/4x^2+y^2+2y=0$ che è una circonferenza giusto?
"Giacomo_frik24":
Allora sostituendo e semplificando ottengo $3/4x^2+y^2+2y=0$ che è una circonferenza giusto?
Giacomo, ti ho scritto che è un ellisse...
Puoi scriverla anche nella forma $x^2/4+(y+1)^2/3=1/3$
A questo punto devi scegliere una parametrizzazione a piacere. Qual è la prima che ti viene in mente?
Si hai ragione è un ellisse, mi sono lasciato fregare dal grafico senza prestare attenzione all’equazione..
Una parametrizzazione potrebbe essere $(4/3cos\theta,1-sen\theta)$ ?
Una parametrizzazione potrebbe essere $(4/3cos\theta,1-sen\theta)$ ?
"Giacomo_frik24":
Una parametrizzazione potrebbe essere $(4/3cos\theta,1-sen\theta)$ ?
Non ho capito da dove l'hai tirata fuori...
P.S. Intendo dire che non va...ma spiegami cosa hai fatto.
Ok, facciamo così...guarda la forma canonica in cui ho messo l'ellisse e ricorda di metterla sempre in quella forma.
Poi guarda la forma canonica e chiediti quali trasformazioni soddisfano l'equazione:
$x=(2/sqrt(3))cos(t)$ e $y+1=sin(t)$ sembrano davvero ok, non trovi?
Se sostituiamo viene $(cos^2(t)+sin^2(t))/3=1/3$ quindi è ok dato che $cos^2(t)+sin^2(t)=1$
Quindi in definitiva abbiamo che il nostro vettore è:
$ (2/sqrt(3)cos(t) ,sin(t)-1 ) $
Poi guarda la forma canonica e chiediti quali trasformazioni soddisfano l'equazione:
$x=(2/sqrt(3))cos(t)$ e $y+1=sin(t)$ sembrano davvero ok, non trovi?
Se sostituiamo viene $(cos^2(t)+sin^2(t))/3=1/3$ quindi è ok dato che $cos^2(t)+sin^2(t)=1$
Quindi in definitiva abbiamo che il nostro vettore è:
$ (2/sqrt(3)cos(t) ,sin(t)-1 ) $
La parametrizzazione l’ho scritta in maniera tale da avere $cos^2 t+sen^2 t=1$ Però mi rendo conto di averla scritta male. Ok quindi questa ottenuta è la parametrizzazione per l’ellisse, per avere la parametrizzazione della curva dovrei avere 3 componenti in questo modo $(2/\sqrt(3)cos\t,sen t -1, 2/\sqrt(6)cos t)$ giusto?
"Giacomo_frik24":
giusto?
No
La curva è un'intersezione fra un iperboloide e un piano quindi è 2D
Però scusa poi l’esercizio chiedeva di calcolare l’integrale curvilineo data la funzione $f(x,y,z)=\sqrt(x^2+z^2+4)$. Quindi mi serve una terza coordinata..
"Giacomo_frik24":
Però scusa poi l’esercizio chiedeva di calcolare l’integrale curvilineo data la funzione $f(x,y,z)=\sqrt(x^2+z^2+4)$. Quindi mi serve una terza coordinata..
Ma se ce l'hai già? Z dipende da X.
Quel vettore rappresenta l'ellissi.
La parametrizzazione invece ti da anche z in funzione di x perchè immagino di chieda valutare l'integrale rispetto a quel dominio, no?
Si ho capito che il vettore con 2 componenti rappresenta l’ellissi, ma allora quale sarebbe la parametrizzazione della curva da utilizzare poi nell’integrale curvilineo?
Scrivi cosa vuole l'esercizio.
Data $f(x,y,z)=\sqrt(x^2+z^2+4)$ si parametrizzi la curva definita da $\gamma={(x,y,z) \in R^3| x^2+y^2+2y-1/2z^2=0} \cap {(x,y,z) \in R^3|z=x/\sqrt(2)}$ dopodiché si calcoli l’integrale curvilineo $\int_{\gamma} fds$
"Giacomo_frik24":
La parametrizzazione l’ho scritta in maniera tale da avere $cos^2 t+sen^2 t=1$ Però mi rendo conto di averla scritta male. Ok quindi questa ottenuta è la parametrizzazione per l’ellisse, per avere la parametrizzazione della curva dovrei avere 3 componenti in questo modo $(2/\sqrt(3)cos\t,sen t -1, 2/\sqrt(6)cos t)$ giusto?
In effetti, quella che hai scritto è una parametrizzazione della curva, manca solo l'intervallo (o meglio insieme) in cui varia $t$. Ci tengo a precisare che la curva è sì piana (giace nel piano di equazione $z=\frac{x}{\sqrt{2}}$), però è immersa nello spazio, ecco perché i suoi punti devono necessariamente avere 3 coordinate.
Ok ora finalmente ci siamo capiti 
. Per l’intervallo su cui varia t [0,2*pi] dovrebbe andare no?
. Per l’intervallo su cui varia t [0,2*pi] dovrebbe andare no?
Of course, sir. 
"Giacomo_frik24":
si calcoli l’integrale curvilineo $\int_{\gamma} fds$
Ah, ok. Quindi ti ponevi il problema di come sostituire $ds$.
Siamo partiti con una parametrizzazione e siamo finiti con un integrale di linea, non è facile seguire i tuoi pensieri!
Guarda, ho fatto i conti rapidamente, quindi ricontrollali, ma credo venga fuori:
$ int_(0)^(2pi) sqrt(2)sqrt(4-cos^4(t)) dt $
Non è bellissimo ma si può fare.
No il problema che mi ponevo era su cosa andare a sostituire al posto della z nella funzione f visto che la tua parametrizzazione era con due sole componenti. Comunque tutto apposto direi che possiamo chiudere la discussione qui. Grazie mille a tutti
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