Parametri che rendono una funzione convessa
Salve a tutti.
In un esercizio che sono riuscito a fare mi veniva chiesto di trovare i parametri, se esistono, per i quali la funzione data risulta nel dato intervallo convessa, nel mio caso era (-pi/3,pi/3).
Il problema è che nonostante mi torni il risultato non sono sicuro di averlo fatto bene. Mi farebbe piacere se qualcuno mi potesse spiegare come procedere sistematicamente in questi casi, nel senso quali sono gli step da seguire.
Purtroppo funzioni con parametri anche se semplici non le abbiamo affrontate nel corso, ma (classico) il professore ce li mette un po' dappertutto.
Venendo al dunque la funzione era f(x)=e^x(k-cosx).
Quello che io ho fatto come prima cosa, è stato trovare la derivata seconda e porla uguale a 0, risolvere per K e fin qui tutto bene. Dopo ho dovuto pensarci un po' per arrivare alla soluzione e mi sono detto in maniera brutale l'intervallo nel quale può essere f"(x)<0 è (5/3*pi, 2pi) e di li ho semplicemente posto k>-2*sin(5/3*pi) ed ho ottenuto il risultato, pensando che da questo valore di x in poi già dovesse risultare f"(x)>0.
Il problema è però che mi sento proprio che il mio ragionamento fa acqua e che la risposta l'ho quasi sparata praticamente.
Chiedo quindi se qualcuno mi può spiegare esattamente come procedere in questi casi in generale.
Grazie.
In un esercizio che sono riuscito a fare mi veniva chiesto di trovare i parametri, se esistono, per i quali la funzione data risulta nel dato intervallo convessa, nel mio caso era (-pi/3,pi/3).
Il problema è che nonostante mi torni il risultato non sono sicuro di averlo fatto bene. Mi farebbe piacere se qualcuno mi potesse spiegare come procedere sistematicamente in questi casi, nel senso quali sono gli step da seguire.
Purtroppo funzioni con parametri anche se semplici non le abbiamo affrontate nel corso, ma (classico) il professore ce li mette un po' dappertutto.
Venendo al dunque la funzione era f(x)=e^x(k-cosx).
Quello che io ho fatto come prima cosa, è stato trovare la derivata seconda e porla uguale a 0, risolvere per K e fin qui tutto bene. Dopo ho dovuto pensarci un po' per arrivare alla soluzione e mi sono detto in maniera brutale l'intervallo nel quale può essere f"(x)<0 è (5/3*pi, 2pi) e di li ho semplicemente posto k>-2*sin(5/3*pi) ed ho ottenuto il risultato, pensando che da questo valore di x in poi già dovesse risultare f"(x)>0.
Il problema è però che mi sento proprio che il mio ragionamento fa acqua e che la risposta l'ho quasi sparata praticamente.
Chiedo quindi se qualcuno mi può spiegare esattamente come procedere in questi casi in generale.
Grazie.
Risposte
E difficile spiegare... In generale
Proviamo a partire da casi particolari?
Proviamo a partire da casi particolari?
Una funzione (continua in un compatto) è $>=0$ se è solo se il suo minimo è $>=0$… Quindi o studi la funzione $f^{\prime \prime}$ o cerchi di minorarla educatamente nell’intervallo che ti interessa.
"gio73":
E difficile spiegare... In generale
Proviamo a partire da casi particolari?
Guarda se hai veramente voglia di farmi un esempio, anche semplice, lo apprezzerei molto.
Beh, l’esempio ce l’hai già.
Considera la funzione $f(x) := e^x (k - \cos x)$ definita in $I:= ]-pi/3 , pi/3[$. Vuoi scegliere $k in RR$ in modo che $f$ sia convessa in $I$.
Dato che $f$ è di classe $C^oo$ in $I$, affinché $f$ sia convessa è necessario e sufficiente che $f’’ (x) >=0$ in $I$; quindi devi scegliere $k$ in modo che la disuguaglianza $f’’ (x) >= 0$ sia soddisfatta ovunque nel tuo intervallo di definizione.
Ora, con un po’ di calcoli, trovi $f’’ (x) = e^x ( k + 2 sin x)$ e devi scegliere $k$ in modo che $k + 2 sin x >= 0$ per ogni $-pi/3 < x < pi/3$. Visto che $ sin x $ è strettamente crescente in $ I$, hai $k + 2 sin x > k + 2 sin (-pi/3) = k - sqrt(3)$, perciò $f’’(x) >= 0$ in $I$ non appena si sceglie $ k>= sqrt(3)$.
Considera la funzione $f(x) := e^x (k - \cos x)$ definita in $I:= ]-pi/3 , pi/3[$. Vuoi scegliere $k in RR$ in modo che $f$ sia convessa in $I$.
Dato che $f$ è di classe $C^oo$ in $I$, affinché $f$ sia convessa è necessario e sufficiente che $f’’ (x) >=0$ in $I$; quindi devi scegliere $k$ in modo che la disuguaglianza $f’’ (x) >= 0$ sia soddisfatta ovunque nel tuo intervallo di definizione.
Ora, con un po’ di calcoli, trovi $f’’ (x) = e^x ( k + 2 sin x)$ e devi scegliere $k$ in modo che $k + 2 sin x >= 0$ per ogni $-pi/3 < x < pi/3$. Visto che $ sin x $ è strettamente crescente in $ I$, hai $k + 2 sin x > k + 2 sin (-pi/3) = k - sqrt(3)$, perciò $f’’(x) >= 0$ in $I$ non appena si sceglie $ k>= sqrt(3)$.
"gugo82":
Beh, l’esempio c’è l’hai già.
Considera la funzione $f(x) := e^x (k - \cos x)$ definita in $I:= ]-pi/3 , pi/3[$. Vuoi scegliere $k in RR$ in modo che $f$ sia convessa in $I$.
Dato che $f$ è di classe $C^oo$ in $I$, affinché $f$ sia convessa è necessario e sufficiente che $f’’ (x) >=0$ in $I$; quindi devi scegliere $k$ in modo che la disuguaglianza $f’’ (x) >= 0$ sia soddisfatta ovunque nel tuo intervallo di definizione.
Ora, con un po’ di calcoli, trovi $f’’ (x) = e^x ( k + 2 sin x)$ e devi scegliere $k$ in modo che $k + 2 sin x >= 0$ per ogni $-pi/3 < x < pi/3$. Visto che $ sin x $ è strettamente crescente in $ I$, hai $k + 2 sin x > k + 2 sin (-pi/3) = k - sqrt(3)$, perciò $f’’(x) >= 0$ in $I$ non appena si sceglie $ k>= sqrt(3)$.
Ti ringrazio sei stato molto chiaro nella spiegazione, penso di aver capito
e scusa se ci ho messo tanto a risponderti ma non avevo aperto per niente il forum. Grazie di nuovo.
[ot]
Questo post è stato scritta da cellulare, vero?[/ot]
"gugo82":
Beh, l’esempio c’è l’hai già.
Considera la funzione $f(x) := e^x (k - \cos x)$ definita in $I:= ]-pi/3 , pi/3[$. Vuoi scegliere $k in RR$ in modo che $f$ sia convessa in $I$.
Dato che $f$ è di classe $C^oo$ in $I$, affinché $f$ sia convessa è necessario e sufficiente che $f’’ (x) >=0$ in $I$; quindi devi scegliere $k$ in modo che la disuguaglianza $f’’ (x) >= 0$ sia soddisfatta ovunque nel tuo intervallo di definizione.
Ora, con un po’ di calcoli, trovi $f’’ (x) = e^x ( k + 2 sin x)$ e devi scegliere $k$ in modo che $k + 2 sin x >= 0$ per ogni $-pi/3 < x < pi/3$. Visto che $ sin x $ è strettamente crescente in $ I$, hai $k + 2 sin x > k + 2 sin (-pi/3) = k - sqrt(3)$, perciò $f’’(x) >= 0$ in $I$ non appena si sceglie $ k>= sqrt(3)$.
Questo post è stato scritta da cellulare, vero?[/ot]
"dissonance":
[ot][quote="gugo82"]Beh, l’esempio c’è l’hai già.
Considera la funzione $f(x) := e^x (k - \cos x)$ definita in $I:= ]-pi/3 , pi/3[$. Vuoi scegliere $k in RR$ in modo che $f$ sia convessa in $I$.
Dato che $f$ è di classe $C^oo$ in $I$, affinché $f$ sia convessa è necessario e sufficiente che $f’’ (x) >=0$ in $I$; quindi devi scegliere $k$ in modo che la disuguaglianza $f’’ (x) >= 0$ sia soddisfatta ovunque nel tuo intervallo di definizione.
Ora, con un po’ di calcoli, trovi $f’’ (x) = e^x ( k + 2 sin x)$ e devi scegliere $k$ in modo che $k + 2 sin x >= 0$ per ogni $-pi/3 < x < pi/3$. Visto che $ sin x $ è strettamente crescente in $ I$, hai $k + 2 sin x > k + 2 sin (-pi/3) = k - sqrt(3)$, perciò $f’’(x) >= 0$ in $I$ non appena si sceglie $ k>= sqrt(3)$.
Questo post è stato scritta da cellulare, vero?[/ot][/quote]
[ot]No, iPad, il cui correttore ortografico fa davvero cagare…[/ot]
Grazie della segnalazione.
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