Parallelo serie-integrali

[Simone Masini]

la somma della serie geometrica è 1/1-q , mentre l'integrale da 0 a più infinito di q^xdx è -1/lnq. Se calcolo i 2 risultati per un valore della ragione -1

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Risposte

pilloeffe

8 apr 2019, 17:40

Ciao Simone Masini,

Eh? Non ho capito una beata minchia (cit. da Cetto La Qualunque - Antonio Albanese)...
Partiamo dalla serie geometrica

$1/(1 - x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \qquad \text{ se } |x| < 1 $

A questo punto come vuoi usare l'integrale da $0 $ a $+\infty $?

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anto_zoolander

8 apr 2019, 17:54

È normale quello che trovi visto che per $0

$q^(n+1)leqq^xleqq^n, forall x in [n,n+1]=> q^(n+1)=int_(n)^(n+1)q^(n+1)dx=leqint_(n)^(n+1)q^xdxleqint_(n)^(n+1)q^ndx=q^n$

È chiaro quindi che $sum_(n=0)^(k)q^ngeq sum_(n=0)^(k)int_(n)^(n+1)q^xdx=int_(0)^(k+1)q^xdx$

Passando al limite si ottiene $sum_(n=0)^(+infty)q^ngeqint_(0)^(+infty)q^xdx$

@piloeffe
Suppongo che intendesse “ma perché l’integrale di $q^x$ in $[0,+infty)$ è minore della serie geometrica di ragione $q$?”

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Simone Masini

8 apr 2019, 18:28

volevo semplicemente dire che se faccio il grafico di q^n e di q^x , il primo sono tutti "bastoncini" di lunghezza pari a q^n , mentre il secondo è una curva continua che passa però per i punti di ordinata q^n. A questo punto l'area sottesa dalla curva sarà sicuramente minore della somma delle ordinate dei "bastoncini" in contrasto con il risultato ottenuto analiticamente.

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anto_zoolander

8 apr 2019, 18:33

Prima hai affermato che per te è assurdo che l’area data dall’integrale sia minore della serie, adesso stai affermando che l'integrale deve essere minore(cosa vera).

Quale delle due vuoi accendere?

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pilloeffe

8 apr 2019, 18:40

Ciao anto_zoolander,

"anto_zoolander":[...] la funzione $2^x $ è monotona decrescente [...]

Immagino che qui intendessi $q^x $

"anto_zoolander":@pilloeffe
Suppongo che intendesse “ma perché l’integrale di $q^x $ in $[0,+\infty)$ è minore della serie geometrica di ragione $q $?”

Se sei riuscito a capire tutto questo da quello che ha scritto l'OP non mi resta che farti i complimenti...

@Simone Masini

"Simone Masini":A questo punto l'area sottesa dalla curva sarà sicuramente minore della somma delle ordinate dei "bastoncini" in contrasto con il risultato ottenuto analiticamente.

Non c'è alcuna contraddizione, quanto scritto da anto_zoolander è corretto.

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[pilloeffe]

Ciao Simone Masini,

Eh? Non ho capito una beata minchia (cit. da Cetto La Qualunque - Antonio Albanese)...
Partiamo dalla serie geometrica

$1/(1 - x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} x^n \qquad \text{ se } |x| < 1 $

A questo punto come vuoi usare l'integrale da $0 $ a $+\infty $?

[anto_zoolander]

È normale quello che trovi visto che per $0

$q^(n+1)leqq^xleqq^n, forall x in [n,n+1]=> q^(n+1)=int_(n)^(n+1)q^(n+1)dx=leqint_(n)^(n+1)q^xdxleqint_(n)^(n+1)q^ndx=q^n$

È chiaro quindi che $sum_(n=0)^(k)q^ngeq sum_(n=0)^(k)int_(n)^(n+1)q^xdx=int_(0)^(k+1)q^xdx$

Passando al limite si ottiene $sum_(n=0)^(+infty)q^ngeqint_(0)^(+infty)q^xdx$

@piloeffe
Suppongo che intendesse “ma perché l’integrale di $q^x$ in $[0,+infty)$ è minore della serie geometrica di ragione $q$?”

[Simone Masini]

volevo semplicemente dire che se faccio il grafico di q^n e di q^x , il primo sono tutti "bastoncini" di lunghezza pari a q^n , mentre il secondo è una curva continua che passa però per i punti di ordinata q^n. A questo punto l'area sottesa dalla curva sarà sicuramente minore della somma delle ordinate dei "bastoncini" in contrasto con il risultato ottenuto analiticamente.

[anto_zoolander]

Prima hai affermato che per te è assurdo che l’area data dall’integrale sia minore della serie, adesso stai affermando che l'integrale deve essere minore(cosa vera).

Quale delle due vuoi accendere?

[pilloeffe]

Ciao anto_zoolander,

"anto_zoolander":[...] la funzione $2^x $ è monotona decrescente [...]

Immagino che qui intendessi $q^x $

"anto_zoolander":@pilloeffe
Suppongo che intendesse “ma perché l’integrale di $q^x $ in $[0,+\infty)$ è minore della serie geometrica di ragione $q $?”

Se sei riuscito a capire tutto questo da quello che ha scritto l'OP non mi resta che farti i complimenti...

@Simone Masini

"Simone Masini":A questo punto l'area sottesa dalla curva sarà sicuramente minore della somma delle ordinate dei "bastoncini" in contrasto con il risultato ottenuto analiticamente.

Non c'è alcuna contraddizione, quanto scritto da anto_zoolander è corretto.