Paragone funzioni olomorfe-forme differenziali
Ciao a tutti! Sto nel bel mezzo di un bel corso di metodi matematici, che riguarda lo studio di funzioni complesse per adesso, e devo dire che mi sto trovando abbastanza bene, a parte delle delucidazioni che spero di trovare adesso.
Stiamo trattando le funzioni analitiche ed olomorfe e siamo riusciti a dimostrare che se è analitica la funzione sarà anche olomorfa. Adesso vogliamo dimostrare il contrario, cioè se è derivabile una volta, lo è infinite volte.
Premetto che non siamo ancora arrivati alla fine, ma il mio dubbio è sugli integrali in campo complesso.
Abbiamo definito l'integrale di una funzione f(z)dz lungo una curva \gamma proprio come l'integrale di una forma differenziale (ve lo ricordate giusto?). Inoltre abbiamo detto che se f(z) è dotata di primitiva allora esiste F(z) tale che f(z)=F'(z). Ed in effetti il prof ha detto che possiamo proprio fare una similitudine con le forme differenziali: infatti abbiamo dimostrato che
-se una funzione è olomorfa, allora l'integrale lungo una curva chiusa è nullo (teo integrale di Cauchy)
-l'integrale lungo una curva dipende solo dagli estremi equivale a dire che la funzione ammette primitiva
-se la funzione è olomorfa allora la funzione è dotata di primitiva
Ok. Mettiamo caso che voglia fare la similitudine con le forme differenziali. All'inizio penso la f(z) come un vettore in due dimensioni, moltiplicato per l'incremento infinitesimo dz posso vedere f(z)dz nel complesso come una forma differenziale.
Dire quindi che f(z) ammette primitiva è un pò come dire in Rquadro che la forma differenziale è esatta.
Quindi alla fine, deducendone da queste analogie, posso dire che se una funzione è olomorfa, è un pò come dire in Rquadro che la forma differenziale è chiusa.
Adesso, nel caso in cui abbia ragionato correttamente, potrei dire che:
- se la funzione è dotata di primitiva, allora la funzione è olomorfa?
- se l'integrale di f lungo una curva da zero, NON posso dire che la funzione è olomorfa, giusto? Però perchè? La mia risposta è che l'integrale può essere nullo anche se una funzione non è olomorfa.
Bhè, spero che abbia ragionato in modo corretto e spero mi lasciate questo paragone con Rquadro
Stiamo trattando le funzioni analitiche ed olomorfe e siamo riusciti a dimostrare che se è analitica la funzione sarà anche olomorfa. Adesso vogliamo dimostrare il contrario, cioè se è derivabile una volta, lo è infinite volte.
Premetto che non siamo ancora arrivati alla fine, ma il mio dubbio è sugli integrali in campo complesso.
Abbiamo definito l'integrale di una funzione f(z)dz lungo una curva \gamma proprio come l'integrale di una forma differenziale (ve lo ricordate giusto?). Inoltre abbiamo detto che se f(z) è dotata di primitiva allora esiste F(z) tale che f(z)=F'(z). Ed in effetti il prof ha detto che possiamo proprio fare una similitudine con le forme differenziali: infatti abbiamo dimostrato che
-se una funzione è olomorfa, allora l'integrale lungo una curva chiusa è nullo (teo integrale di Cauchy)
-l'integrale lungo una curva dipende solo dagli estremi equivale a dire che la funzione ammette primitiva
-se la funzione è olomorfa allora la funzione è dotata di primitiva
Ok. Mettiamo caso che voglia fare la similitudine con le forme differenziali. All'inizio penso la f(z) come un vettore in due dimensioni, moltiplicato per l'incremento infinitesimo dz posso vedere f(z)dz nel complesso come una forma differenziale.
Dire quindi che f(z) ammette primitiva è un pò come dire in Rquadro che la forma differenziale è esatta.
Quindi alla fine, deducendone da queste analogie, posso dire che se una funzione è olomorfa, è un pò come dire in Rquadro che la forma differenziale è chiusa.
Adesso, nel caso in cui abbia ragionato correttamente, potrei dire che:
- se la funzione è dotata di primitiva, allora la funzione è olomorfa?
- se l'integrale di f lungo una curva da zero, NON posso dire che la funzione è olomorfa, giusto? Però perchè? La mia risposta è che l'integrale può essere nullo anche se una funzione non è olomorfa.
Bhè, spero che abbia ragionato in modo corretto e spero mi lasciate questo paragone con Rquadro
Risposte
upupup!
"fabiostyle91":
Adesso, nel caso in cui abbia ragionato correttamente, potrei dire che:
- se la funzione è dotata di primitiva, allora la funzione è olomorfa?
- se l'integrale di f lungo una curva da zero, NON posso dire che la funzione è olomorfa, giusto? Però perchè? La mia risposta è che l'integrale può essere nullo anche se una funzione non è olomorfa.
Bhè, spero che abbia ragionato in modo corretto e spero mi lasciate questo paragone con Rquadro
Il paragone con $\RR^2$ ci sta tutto anche perché molti teoremi lo istigano esplicitamente (tipo le formule di Cauchy-Riemann).
Per quanto riguarda la tua prima domanda, cioè "se la funzione è dotata di primitiva, allora la funzione è olomorfa?", posso risponderti in un modo abbastanza "grezzo" (e non molto matematico!) dicendoti la seguente cosa.
Tu hai detto che stai dimostrando che una funzione derivabile una volta (in senso complesso) è derivabile infinite volte. Quando l'avrai dimostrato potrai pensare: "se una funzione è dotata di primitiva vuol dire che la primitiva (come funzione) è derivabile, quindi essendo derivabile una volta lo è anche infinite volte quindi anche la sua derivata (come funzione) è derivabile infinite volte"...
E comunque se la memoria non mi inganna, mi pare che questa tua domanda sia proprio un teorema (in analisi complessa).
Per quanto riguarda la seconda, tu dici "se l'integrale di f lungo una curva da zero, NON posso dire che la funzione è olomorfa, giusto? Però perchè? La mia risposta è che l'integrale può essere nullo anche se una funzione non è olomorfa?".
Presuppongo che con "se l'integrale di f lungo una curva da zero" tu intendi "curva chiusa" mi sembra di ricordare che nel teorema integrale di Cauchy, le affermazioni erano equivalenti. Quindi se l'integrale di $f$ lungo una curva chiusa è nullo vuol dire che è olomorfa e viceversa.
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