Paraboloide e piano
Devo calcolare il volume del solido rappresentato da $x^2 + y^2 <= z <= 1 + x + y$
In pratica è un paraboloide infinito intersecato da un piano. Pensavo di integrare per fili ma non sono per niente sicuro degli esteremi di integrazione.
L'integrale in $dz$ dovrebbe variare tra $x^2 + y^2$ e $1 + x + y$, il problema è trovare il dominio per l'integrale doppio in $dxdy$. In $xy$ dovrebbe esserci una circonferenza tagliata dalla retta in questione, ma come lo rappresento? Come sono gli estremi degli integrali in y e x?
In pratica è un paraboloide infinito intersecato da un piano. Pensavo di integrare per fili ma non sono per niente sicuro degli esteremi di integrazione.
L'integrale in $dz$ dovrebbe variare tra $x^2 + y^2$ e $1 + x + y$, il problema è trovare il dominio per l'integrale doppio in $dxdy$. In $xy$ dovrebbe esserci una circonferenza tagliata dalla retta in questione, ma come lo rappresento? Come sono gli estremi degli integrali in y e x?
Risposte
Bisogna prendere tutti i punti entro il paraboloide e sotto al piano. Detta in maniera spiccia e in questo caso, tutti i punti entro l'intersezione di tali figure geometriche (prova a immaginartelo). Ti è sufficiente dunque imporre \(x^2+y^2=1+x+y\).
"seb":
Bisogna prendere tutti i punti entro il paraboloide e sotto al piano. Detta in maniera spiccia e in questo caso, tutti i punti entro l'intersezione di tali figure geometriche (prova a immaginartelo). Ti è sufficiente dunque imporre \(x^2+y^2=1+x+y\).
Non capisco cosa posso ottenere da quell'equazione riguardo al dominio dell'integrale doppio in $xy$ per gli estremi di integrazione, parlando sempre di integrazione per fili. Sulla figura ci sono, il problema sono gli estremi di integrazione.
Dunque: il paraboloide tagliato dal piano forma una sorta di ascidio tappato. Il dominio dell'integrale doppio nelle variabili \(x\) e \(y\) è formato da tutti i punti che sono proiezione di tale figura sul piano \(z=0\). Partendo, per intenderci, dall'asse dell'ascidio, i punti della sua superficie più distanti da tale asse si trovano all'intersezione tra il paraboloide e il piano. Perciò devi considerare tutti i punti a partire dall'asse del paraboloide fino a tale intersezione. Altrimenti detto, devi prendere tutte le coppie di coordinate del piano \(xy\) che stanno entro la proiezione di tale intersezione sul medesimo piano. Il sistema\[\begin{cases}z=x^2+y^2\\z=1+x+y\end{cases}\]è la condizione che impone l'intersezione tra le due superfici. Data l'indipendenza di \(x^2+y^2=1+x+y\) da \(z\), tale equazione già fornisce la proiezione dell'intersezione sul piano \(z=0\). Semplificata tale equazione, si ottengono gli estremi di integrazione cercati. È evidente che si tratti di una circonferenza; per di più, asciugando la scrittura si giunge a\[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\leqslant\frac{3}{2}\]da cui è manifesto che il cerchio ha raggio pari a \(\sqrt{{}^3\!/\!_2}\) ed è centrato in \(({}^1\!/\!_2,{}^1\!/\!_2)\). Da qui gli estremi d'integrazione sono diretti. Spero sia un po' più chiaro.
"seb":
Dunque: il paraboloide tagliato dal piano forma una sorta di ascidio tappato. Il dominio dell'integrale doppio nelle variabili \(x\) e \(y\) è formato da tutti i punti che sono proiezione di tale figura sul piano \(z=0\). Partendo, per intenderci, dall'asse dell'ascidio, i punti della sua superficie più distanti da tale asse si trovano all'intersezione tra il paraboloide e il piano. Perciò devi considerare tutti i punti a partire dall'asse del paraboloide fino a tale intersezione. Altrimenti detto, devi prendere tutte le coppie di coordinate del piano \(xy\) che stanno entro la proiezione di tale intersezione sul medesimo piano. Il sistema\[\begin{cases}z=x^2+y^2\\z=1+x+y\end{cases}\]è la condizione che impone l'intersezione tra le due superfici. Data l'indipendenza di \(x^2+y^2=1+x+y\) da \(z\), tale equazione già fornisce la proiezione dell'intersezione sul piano \(z=0\). Semplificata tale equazione, si ottengono gli estremi di integrazione cercati. È evidente che si tratti di una circonferenza; per di più, asciugando la scrittura si giunge a\[\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y-\frac{1}{2}\right)^2\leqslant\frac{3}{2}\]da cui è manifesto che il cerchio ha raggio pari a \(\sqrt{{}^3\!/\!_2}\) ed è centrato in \(({}^1\!/\!_2,{}^1\!/\!_2)\). Da qui gli estremi d'integrazione sono diretti. Spero sia un po' più chiaro.
Ti ringrazio, ero arrivato a impostare il sistema ma non sapevo cosa farci oltre a provare a risolverlo.
Mi rimane solo un dubbio: la circonferenza trovata alla fine concretamente come si forma? Io mi ero immaginato la proiezione del paraboloide (un cerchio) che veniva intersecato dal piano (quindi una retta in xy). Quindi un cerchio intersecato da un retta e non sapevo come formalizzarlo. Probabilmente intendo male la definizione di paraboloide oppure la rappresentazione della figura...
"valerio7":Scusa?
Io mi ero immaginato la proiezione del paraboloide (un cerchio) che veniva intersecato dal piano (quindi una retta in xy).
Probabilmente intendo male la definizione di paraboloide oppure la rappresentazione della figura...Può darsi, perché non è poi tanto difficile da immaginare (c'è di molto peggio). Il punto è che, se non sai bene cosa sia un paraboloide, hai a disposizione molti mezzi per capirne l'andamento e ben più semplici di un intero studio di funzione. Sapresti dirne un paio?
Infine, buon anno!
A parte che non trovo un programma per disegnare i solidi intersecati in generale, integrando per fili uso un dominio $D'$ che è la proiezione del solido su $xy$. Ad esempio un paraboloide tagliato da un piano $z=1$ avrà come proiezione un cerchio.
Questo piano "obliquo" che lo taglia fa in modo che mi sfugga completamente il disegno, oltre a immaginarmelo in generale mi sfugge soprattutto la proiezione che avrebbe su $xy$. Grazie e buon anno anche a te!
Questo piano "obliquo" che lo taglia fa in modo che mi sfugga completamente il disegno, oltre a immaginarmelo in generale mi sfugge soprattutto la proiezione che avrebbe su $xy$. Grazie e buon anno anche a te!
Okay, vedo di darti qualche dritta e qualche risposta.
Innanzitutto cerchiamo di capire che forma ha questo paraboloide. In questo caso qui la maniera probabilmente migliore di procedere è notare il fatto che \(z(x,y)=x^2+y^2\) è una funzione radiale, la cui caratteristica, cioè, è che il valore che essa assume nel generico punto \((x,y)\) dipende solamente dalla distanza dall'origine. È immediato rendersene conto tramite un passaggio in coordinate polari (cilindriche)\[\begin{cases}x=\rho\cos{\theta}\\y=\rho\sin{\theta}\end{cases}\implies z(\rho)=\rho^2\]con \((\rho,\theta)\in[0,+\infty)\times[0,2\pi)\). Dunque, nel piano \(\rho z\) si ha un arco di parabola, la metà che concerne il semiasse positivo delle ascisse. L'indipendenza di \(z\) da \(\theta\) implica che tale andamento vale \(\forall\theta\in[0,2\pi)\). Ciò significa che puoi prendere questo arco di parabola e fargli compiere una rivoluzione attorno all'asse \(z\): la figura che si genera in tale operazione è proprio il paraboloide \(z=x^2+y^2\).
Un'altra maniera di procedere è tagliare la figura con piani ortogonali al piano \(xy\) e vedere quale intersezione si produce. Tagliamo il paraboloide con un piano qualsiasi \(x=\overline{x}\implies z(\overline{x},y)=\overline{x}^2+y^2\), che rappresenta una parabola sollevata rispetto al piano \(z=0\) di una quantità pari a \(\overline{x}^2\). Dunque su tali piani che vanno a intersecare il paraboloide trovi sempre parabole tanto più sollevate tanto più distante ti trovi dall'origine. Un'idea forse immaginativamente più chiara la si ottiene con lo stesso procedimento scegliendo piani passanti per l'origine, ma questo lascio farlo a te.
Per quanto riguarda l'intersezione che il paraboloide ha col piano inclinato \(z=1+x+y\), una volta impostato il sistema\[\begin{cases}z=1+x+y\\z=x^2+y^2\end{cases}\]che rappresenta una circonferenza, non ci possono essere dubbi che essa, necessariamente, deve rappresentare l'intera intersezione. Il fatto è che l'intersezione tra un paraboloide e un piano inclinato genera un'ellissi. La sua proiezione sul piano \(xy\) è una circonferenza. Puoi convincertene prendendo un anello e osservando l'ombra che di esso si proietta su un tavolo. Secondo una certa inclinazione l'anello proietterà un'ombra circolare, in tutti gli altri casi delle ombre ellittiche (fino a degenerare in un segmento). Equivalentemente, la proiezione di un'ellissi può produrre una circonferenza, come nel nostro caso.
Innanzitutto cerchiamo di capire che forma ha questo paraboloide. In questo caso qui la maniera probabilmente migliore di procedere è notare il fatto che \(z(x,y)=x^2+y^2\) è una funzione radiale, la cui caratteristica, cioè, è che il valore che essa assume nel generico punto \((x,y)\) dipende solamente dalla distanza dall'origine. È immediato rendersene conto tramite un passaggio in coordinate polari (cilindriche)\[\begin{cases}x=\rho\cos{\theta}\\y=\rho\sin{\theta}\end{cases}\implies z(\rho)=\rho^2\]con \((\rho,\theta)\in[0,+\infty)\times[0,2\pi)\). Dunque, nel piano \(\rho z\) si ha un arco di parabola, la metà che concerne il semiasse positivo delle ascisse. L'indipendenza di \(z\) da \(\theta\) implica che tale andamento vale \(\forall\theta\in[0,2\pi)\). Ciò significa che puoi prendere questo arco di parabola e fargli compiere una rivoluzione attorno all'asse \(z\): la figura che si genera in tale operazione è proprio il paraboloide \(z=x^2+y^2\).
Un'altra maniera di procedere è tagliare la figura con piani ortogonali al piano \(xy\) e vedere quale intersezione si produce. Tagliamo il paraboloide con un piano qualsiasi \(x=\overline{x}\implies z(\overline{x},y)=\overline{x}^2+y^2\), che rappresenta una parabola sollevata rispetto al piano \(z=0\) di una quantità pari a \(\overline{x}^2\). Dunque su tali piani che vanno a intersecare il paraboloide trovi sempre parabole tanto più sollevate tanto più distante ti trovi dall'origine. Un'idea forse immaginativamente più chiara la si ottiene con lo stesso procedimento scegliendo piani passanti per l'origine, ma questo lascio farlo a te.
Per quanto riguarda l'intersezione che il paraboloide ha col piano inclinato \(z=1+x+y\), una volta impostato il sistema\[\begin{cases}z=1+x+y\\z=x^2+y^2\end{cases}\]che rappresenta una circonferenza, non ci possono essere dubbi che essa, necessariamente, deve rappresentare l'intera intersezione. Il fatto è che l'intersezione tra un paraboloide e un piano inclinato genera un'ellissi. La sua proiezione sul piano \(xy\) è una circonferenza. Puoi convincertene prendendo un anello e osservando l'ombra che di esso si proietta su un tavolo. Secondo una certa inclinazione l'anello proietterà un'ombra circolare, in tutti gli altri casi delle ombre ellittiche (fino a degenerare in un segmento). Equivalentemente, la proiezione di un'ellissi può produrre una circonferenza, come nel nostro caso.
Ecco, mi mancava l'ellissi proiettata, ti ringrazio!
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