Palla unitaria di $c_0$
Voglio mostrare (senza ricorrere al teorema di Kakutani) che la palla unitaria di $c_0$ (lo spazio di Banach delle successioni reali infinitesime con la norma del sup) non è debolmente compatta. Qualcuno puo' aiutarmi?
Risposte
Mi scuso per l'intromissione, non è esattamente la risposta che cerchi, però magari può essere utile; ho deciso di postare lo stesso. Voglio provare che la palla non è weakly sequentially compact il che, però, non ha legami con la non compattezza debole (la weak topology non è metrizzabile). Ti torna questo?
Per mostrare che $c_0$ non è debolmente sequenzialmente compatto, basta esibire una successione limitata che non possiede estratte convergenti (sempre in senso debole). Sia quindi $x_n=(1,1,1,1, \ldots , 0,0,0 \ldots)$ dove il numero di $1$ iniziali è proprio $n$ e poi sono tutti zero. Ora diamo per buono il fatto che il duale di $c_0$ è \( \ell^1\). Prendiamo i funzionali $\pi_k$, dati dalle proiezioni $\pi_k(x)=x_k$: essi mostrano che una estratta debolmente convergente dovrebbe convergere necessariamente alla successione costante $1$, che però non è infinitesima.
Mi sembri che l'diea possa funzionare, forse c'è qualche dettaglio da sistemare. Se qualcuno ha voglia di correggere/aggiungere/sistemare è il benvenuto, sono anche io interessato alla questione.
Per mostrare che $c_0$ non è debolmente sequenzialmente compatto, basta esibire una successione limitata che non possiede estratte convergenti (sempre in senso debole). Sia quindi $x_n=(1,1,1,1, \ldots , 0,0,0 \ldots)$ dove il numero di $1$ iniziali è proprio $n$ e poi sono tutti zero. Ora diamo per buono il fatto che il duale di $c_0$ è \( \ell^1\). Prendiamo i funzionali $\pi_k$, dati dalle proiezioni $\pi_k(x)=x_k$: essi mostrano che una estratta debolmente convergente dovrebbe convergere necessariamente alla successione costante $1$, che però non è infinitesima.
Mi sembri che l'diea possa funzionare, forse c'è qualche dettaglio da sistemare. Se qualcuno ha voglia di correggere/aggiungere/sistemare è il benvenuto, sono anche io interessato alla questione.
Salvato in corner dalla... separabilità. Ho scovato sul Brezis un bel corollario che fa proprio al caso mio: se $E$ è un Banach il cui duale $E^{star}$ è separabile allora la palla unitaria di $E$ è metrizzabile nella weak topology.
Quindi, siccome per mia fortuna \( \ell^1 \) è separabile, il fatto che la palla unitaria non sia debolmente sequenzialmente compatta implica che essa non è nemmeno compatta, che è quanto volevi.
P.S. Però con Kakutani...
Quindi, siccome per mia fortuna \( \ell^1 \) è separabile, il fatto che la palla unitaria non sia debolmente sequenzialmente compatta implica che essa non è nemmeno compatta, che è quanto volevi.
P.S. Però con Kakutani...
Ma la tua idea è giusta e non usa Kakutani, il teorema sulla separabilità del duale non usa Kakutani 
grazie!
grazie!
Prego, figurati.
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