Palla aperta e intorno.

[anto_zoolander]

Ciao volevo sapere se questa dimostrazione fosse corretta.
Sia $(X,d)$ spazio metrico. Allora per ogni coppia di punti $x,y$ distinti di $X$ esistono palle aperte $B_x,B_y$ disgiunte.

1) Consideriamo la quantità $d(x,y)>0$ e poniamo $r=d(x,y)$
Posti $B_x=B(x,r)$ e $B_y=B(y,r)$ supponiamo per assurdo che esista $z inB_x cap B_y$

Allora ${(d(x,z)
$d(x,y)leqd(x,z)+d(y,z)<2r=d(x,y)$ da cui l’assurdo $d(x,y) Questo prova in uno spazio metrico si possano trovare sempre palle aperte disgiunte per due punti distinti.

2) A seguito volevo mostrare che ogni palla aperta centrata in un punto fosse un aperto.
Ora consideriamo $forallx inXforall r>0$ pongo $B_x=B(x,r)$

Prendiamo un qualsiasi $yinB_x$ da cui $d(x,y)
$forallz inB_y$ si ha $d(y,z)
$d(x,z)leqd(x,y)+d(y,z)
Pertanto abbiamo trovato che per ogni elemento $y$ di $B_x$ esiste una palla aperta centrata in $y$ interamente contenuta in $B_x$ pertanto è un aperto.

3) adesso vorrei concludere mostrando che ogni palla aperta centrata in $x$ è un intorno di $x$.
Io come definizione di intorno uso: $V_x$ è un intorno di $x$ se contiene un aperto contente $x$
Di fatto data una palla aperta $B_x$ essa è una aperto contente $x$ pertanto è un intorno.


Purtroppo non mi trovo bene con alcuni professori, quindi studio da solo e vi chiederò spesso conferme andando avanti

[Shocker1]

forse in $1$ volevi prendere le palle di raggio $\frac{r}{2}$.
Per il resto mi sembra tutto ok.

[anto_zoolander]

Si esattamente ahahahaha grazie!