[Pagani-Salsa] Campo solenoidale rotore di altro campo: refuso?
Ciao, amici! Alla proposizione 3.7, il noto testo di S. Salsa, C.D. Pagani, Analisi matematica 2, dimostra che se $A\subset\mathbb{R}^3$ è della forma \(\prod_{i=1}^3 (a_i,b_i)\) e $\mathbf{V}\in C^1(A)$ è un campo vettoriale solenoidale allora esiste un campo $\mathbf{F}\in C^2(A)$ tale che \(\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{V}\) ed ogni altro campo $\mathbf{G}$ tale che \(\text{rot }\mathbf{F}=\mathbf{V}\) è della forma \(\mathbf{G}=\mathbf{F}+\nabla\varphi\) dove \(\varphi\in C^2(A)\) è uno scalare.
Per dimostrare quanto voluto si costruisce esplicitamente $\mathbf{F}$ come segue:
$$\mathbf{F}(x,y,z):=\int_{x_0}^x V_3(t,y,z) dt\mathbf{j}+\left(-\int_{x_0}^x V_2(t,y,z) dt+\int_{y_0}^y V_1(x_0,t,z) dt\right)\mathbf{k}.$$
Ora, usando il teorema fondamentale del calcolo e derivando dove necessario sotto il segno di integrale mi risulta semplice verificare che $\mathbf{F}\in C^1(A)$, ma non riesco a vedere come calcolare, ad esempio \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\mathbf{F} \).
Notando che, se $\mathbf{F}$, e quindi anche $\mathbf{G}$, è di classe $C^2$, allora \(\nabla \varphi\) lo è pure e quindi \(\varphi\in C^3(A)\), invece che solo \(\varphi\in C^2(A)\) come dice l'asserto, non sarà che $\mathbf{F}\in C^1(A)$?
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Per dimostrare quanto voluto si costruisce esplicitamente $\mathbf{F}$ come segue:
$$\mathbf{F}(x,y,z):=\int_{x_0}^x V_3(t,y,z) dt\mathbf{j}+\left(-\int_{x_0}^x V_2(t,y,z) dt+\int_{y_0}^y V_1(x_0,t,z) dt\right)\mathbf{k}.$$
Ora, usando il teorema fondamentale del calcolo e derivando dove necessario sotto il segno di integrale mi risulta semplice verificare che $\mathbf{F}\in C^1(A)$, ma non riesco a vedere come calcolare, ad esempio \(\frac{\partial^2}{\partial y^2}\mathbf{F} \).
Notando che, se $\mathbf{F}$, e quindi anche $\mathbf{G}$, è di classe $C^2$, allora \(\nabla \varphi\) lo è pure e quindi \(\varphi\in C^3(A)\), invece che solo \(\varphi\in C^2(A)\) come dice l'asserto, non sarà che $\mathbf{F}\in C^1(A)$?
$\infty$ grazie per ogni risposta!
Risposte
Perché dici che non sai calcolare \(\partial_{yy} F\)? Che problema riscontri?
Comunque se \(\nabla \wedge F = V \in C^1\) allora \(F \in C^2\); infine \(\varphi \in C^1\) perché devi poterne fare il gradiente, non ti serve che sia \(C^2\) per i fini di questo teorema.
P.s. scusate la notazione brutta per il rotore, il compilatore non accetta \rot o \curl stranamente...
Comunque se \(\nabla \wedge F = V \in C^1\) allora \(F \in C^2\); infine \(\varphi \in C^1\) perché devi poterne fare il gradiente, non ti serve che sia \(C^2\) per i fini di questo teorema.
P.s. scusate la notazione brutta per il rotore, il compilatore non accetta \rot o \curl stranamente...
@raptorista Ma se $G$ e $F$ sono due potenziali vettori ammissibili per $V$ allora $nabla xx(G-F)=0$, quindi $G-F in C^2$ è irrotazionale e gradiente di un potenziale scalare almeno di classe $C^3$, no?
"Vulplasir":
$nabla xx(G-F)=0$, quindi $G-F in C^2$
So che è tarda sera, ma non mi è chiaro questo passaggio. $G-F$ deve avere la regolarità minima per farne il rotore, no?
Il teorema sul pagani-salsa parla dell'esistenza di potenziali vettori di classe $C^2$ per un campo vettoriale di classe $C^1$, se $F$ e $G$ sono due di questi potenziali vettori di classe $C^2$, allora la loro differenza è ancora di classe $C^2$, quindi se $G-F=gradvarphi$, allora $varphi$ non può essere solo di classe $C^1$ se $G-F$ è di classe $C^2$, o mi sbaglio?
p.s. mi sono introdotto in questo topic perché ne avevo già discusso con @davidegenova e avevamo gli stessi dubbi
p.s. mi sono introdotto in questo topic perché ne avevo già discusso con @davidegenova e avevamo gli stessi dubbi
Il teorema di Pagani-Salsa dice che esiste un potenziale vettore di classe \(C^2\).
D'altronde, se io prendo un potenziale \(F \in C^2\) del vettore \(V\) e ci sommo il gradiente \(\nabla \varphi \in C^1\) ottengo comunque un altro potenziale vettore perché \(\nabla \wedge (F + \nabla \varphi) = V\), e siamo tutti d'accordo che \(F + \nabla \varphi\) non è una funzione \(C^2\). Quindi non tutti i potenziali vettore di \(V\) sono necessariamente di classe \(C^2\).
Ora, la mia interpretazione è che il teorema afferma che tra tutti i potenziali vettori ce n'è [almeno] uno di classe \(C^2\), non che tutti i potenziali vettore siano di classe \(C^2\).
D'altronde, se io prendo un potenziale \(F \in C^2\) del vettore \(V\) e ci sommo il gradiente \(\nabla \varphi \in C^1\) ottengo comunque un altro potenziale vettore perché \(\nabla \wedge (F + \nabla \varphi) = V\), e siamo tutti d'accordo che \(F + \nabla \varphi\) non è una funzione \(C^2\). Quindi non tutti i potenziali vettore di \(V\) sono necessariamente di classe \(C^2\).
Ora, la mia interpretazione è che il teorema afferma che tra tutti i potenziali vettori ce n'è [almeno] uno di classe \(C^2\), non che tutti i potenziali vettore siano di classe \(C^2\).
Grazie per la risposta! Per \(\varphi\) ho capito: $\mathbf{G}$ si suppone di classe $C^1$.
Per le altre derivate prime si ha, direi,$$\partial_y\mathbf{F}(x,y,z):=\int_{x_0}^x \partial_y V_3(t,y,z) dt\mathbf{j}+\left(-\int_{x_0}^x \partial_y V_2(t,y,z) dt+ V_1(x_0,y,z) \right)\mathbf{k}$$e$$\partial_z\mathbf{F}(x,y,z):=\int_{x_0}^x \partial_z V_3(t,y,z) dt\mathbf{j}+\left(-\int_{x_0}^x \partial_z V_2(t,y,z) dt+\int_{y_0}^y \partial_zV_1(x_0,t,z) dt\right)\mathbf{k}$$e quindi $$\partial_x\partial_y\mathbf{F}=\partial_y V_3\mathbf{j}-\partial_y V_2\mathbf{k},\quad\partial_x\partial_z\mathbf{F}=\partial_z V_3\mathbf{j}-\partial_z V_2\mathbf{k}$$ma $\partial_y\partial_z\mathbf{F}$, $\partial_z\partial_y\mathbf{F}$, $\partial_y\partial_y\mathbf{F}$ e $\partial_z\partial_z\mathbf{F}$, non potendo derivare sotto il segno di integrale ($\mathbf{V}\in C^1(A)$ e non di più), non saprei come calcolarle...
"Raptorista":Non ho alcun problema a calcolare \(\partial_x\mathbf{F}=V_1\mathbf{j}-V_2\mathbf{k}\in C^1\).
Perché dici che non sai calcolare \(\partial_{yy} F\)? Che problema riscontri?
Per le altre derivate prime si ha, direi,$$\partial_y\mathbf{F}(x,y,z):=\int_{x_0}^x \partial_y V_3(t,y,z) dt\mathbf{j}+\left(-\int_{x_0}^x \partial_y V_2(t,y,z) dt+ V_1(x_0,y,z) \right)\mathbf{k}$$e$$\partial_z\mathbf{F}(x,y,z):=\int_{x_0}^x \partial_z V_3(t,y,z) dt\mathbf{j}+\left(-\int_{x_0}^x \partial_z V_2(t,y,z) dt+\int_{y_0}^y \partial_zV_1(x_0,t,z) dt\right)\mathbf{k}$$e quindi $$\partial_x\partial_y\mathbf{F}=\partial_y V_3\mathbf{j}-\partial_y V_2\mathbf{k},\quad\partial_x\partial_z\mathbf{F}=\partial_z V_3\mathbf{j}-\partial_z V_2\mathbf{k}$$ma $\partial_y\partial_z\mathbf{F}$, $\partial_z\partial_y\mathbf{F}$, $\partial_y\partial_y\mathbf{F}$ e $\partial_z\partial_z\mathbf{F}$, non potendo derivare sotto il segno di integrale ($\mathbf{V}\in C^1(A)$ e non di più), non saprei come calcolarle...
Ciao Davide, credo tu abbia ragione. Riformulo la tua domanda più terra-terra: "se \(\mathbf V\in C^1\) e \(\nabla \times \mathbf F = \mathbf V\), allora è vero o non è vero che \(\mathbf F\in C^2\)?" Mi sa che non è vero. Il campo vettoriale \[\mathbf F= (\text{porcheria}_1(x), \text{porcheria}_2(y), 0)\]
dove le \(\text{porcherie}\) sono funzioni di una sola variabile, ha il rotore nullo e può avere la regolarità bassa a volontà.
dove le \(\text{porcherie}\) sono funzioni di una sola variabile, ha il rotore nullo e può avere la regolarità bassa a volontà.
Questa domanda mostra che il problema non è banale. Le questioni di regolarità tendono a essere fastidiose e insidiose.
P.S.: Tra l'altro vedo che Raptorista aveva già risposto alla domanda, quindi io non ho aggiunto nulla a parte il link di sopra, spero sia utile
P.S.: Tra l'altro vedo che Raptorista aveva già risposto alla domanda, quindi io non ho aggiunto nulla a parte il link di sopra, spero sia utile
Grazie $\infty$ anche a te, dissonance!
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