OTTIMIZZAZIONE VINCOLATA caso risolto:)
ciao..spero ke tu mi possa aiutare
testo
4 .Data la funzione f(x,y)=exp(x^2+y^2) ed il vettore v=[sqrt(2)/2]*i+[sqrt(2)/2]*j, determinare max e min vincolati x la funzione z=df(x,y)/dv (derivata direzionale) con il vincolo x^2+y^2=1
essendo una funzione C infinito vale la formula del gradiente quindi la derivata direzionale è =sqrt(2)*(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2);[in particolare siccome la derivata direzionale è costante lungo il vincolo si può dire ke sn tutti punti di max o di min???]
le der parziali della funzione z(x,y) sn (4*sqrt(2)*x*(1+x^2+y^2)*exp(x^2+y^2),4*sqrt(2)*y*(1+x^2+y^2)*exp(x^2+y^2))
andando a sostituire ad x^2+y^2 il termine 1 ottengo (8*e*sqrt(2)*x,8*e*sqrt(2)*y)=gradiente di z sul vincolo x^2+y^2=1;
a questo punto io farei il tutto kon la funzione lagrangiana.
ma nella soluzione il prof mette:(testuali parole)sul vincolo,tale derivata direzionale coincide con z=g(x,y)=sqrt(2)*(x+y) . praticamente si trova i max e min con la lagrangiana.il fatto è ke secondo me questa sostituzione nn si può fare (anke provando a sostituire 1 punto es(1,0)alle 2 funzioni,nn tornano i conti ).
grazie *lollo86*
vorrei sapere se è lecita la sua sostituzione,e quali sono i max e i min vincolati.
grazie
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4 .Data la funzione f(x,y)=exp(x^2+y^2) ed il vettore v=[sqrt(2)/2]*i+[sqrt(2)/2]*j, determinare max e min vincolati x la funzione z=df(x,y)/dv (derivata direzionale) con il vincolo x^2+y^2=1
essendo una funzione C infinito vale la formula del gradiente quindi la derivata direzionale è =sqrt(2)*(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2);[in particolare siccome la derivata direzionale è costante lungo il vincolo si può dire ke sn tutti punti di max o di min???]
le der parziali della funzione z(x,y) sn (4*sqrt(2)*x*(1+x^2+y^2)*exp(x^2+y^2),4*sqrt(2)*y*(1+x^2+y^2)*exp(x^2+y^2))
andando a sostituire ad x^2+y^2 il termine 1 ottengo (8*e*sqrt(2)*x,8*e*sqrt(2)*y)=gradiente di z sul vincolo x^2+y^2=1;
a questo punto io farei il tutto kon la funzione lagrangiana.
ma nella soluzione il prof mette:(testuali parole)sul vincolo,tale derivata direzionale coincide con z=g(x,y)=sqrt(2)*(x+y) . praticamente si trova i max e min con la lagrangiana.il fatto è ke secondo me questa sostituzione nn si può fare (anke provando a sostituire 1 punto es(1,0)alle 2 funzioni,nn tornano i conti ).
grazie *lollo86*
vorrei sapere se è lecita la sua sostituzione,e quali sono i max e i min vincolati.
grazie
Risposte
Mi spiace, ma non posso aderire alla tua richiesta
perche' non mi e' chiaro il problema
G.Schgör
perche' non mi e' chiaro il problema
G.Schgör
Non ho capito che cosa intendi con "le derivate parziali nella direzione". Anche perche' la derivata direzionale e' uno scalare nel caso di funzioni che hanno l'immagine contenuta in R.
In pratica la derivata direzionale e' (in questo caso) la somma delle derivate parziali (moltiplicate per sqrt(2)/2) per cui e':
z = sqrt (2) ( x + y ) exp ( x^2 + y^2 ) ={sul vincolo}= 2^(1/2) ( x + y ) e
( d/dx exp (x^2) = 2 x exp ( x^2 ) )
Per cui mi pare che la soluzione del tuo prof sia piu' che giusta. Per i massimi e minimi vincolati non posso aiutarti perche' sono un po' arrugginito coi moltiplicatori di Lagrange.....
In pratica la derivata direzionale e' (in questo caso) la somma delle derivate parziali (moltiplicate per sqrt(2)/2) per cui e':
z = sqrt (2) ( x + y ) exp ( x^2 + y^2 ) ={sul vincolo}= 2^(1/2) ( x + y ) e
( d/dx exp (x^2) = 2 x exp ( x^2 ) )
Per cui mi pare che la soluzione del tuo prof sia piu' che giusta. Per i massimi e minimi vincolati non posso aiutarti perche' sono un po' arrugginito coi moltiplicatori di Lagrange.....
scusa forse nn sono stato chiaro ...
ma la derivata direzionale df(x,y)/dv=sqrt(2)/2*(df(x,y)/dx+df(x,y)/dy)=sqrt(2)*(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2)....
il vettore v=sqrt(2)*i+sqrt(2)*j....
eppoi il prof scrive z=sqrt(2)*(x+y) dimenticandosi la "e"
ma la derivata direzionale df(x,y)/dv=sqrt(2)/2*(df(x,y)/dx+df(x,y)/dy)=sqrt(2)*(x^2+y^2)*exp(x^2+y^2)....
il vettore v=sqrt(2)*i+sqrt(2)*j....
eppoi il prof scrive z=sqrt(2)*(x+y) dimenticandosi la "e"
Si in effetti, tanto per cominciare cio' che avevo scritto prima era sbagliato (ho corretto cio' gli errori che ho visto), ma, salvo ulteriori errori la derivata direzionale dovrebbe essere:
sqrt(2) ( x + y ) exp ( x^2 + y^2 )
Poi, riguardo alla soluzione del prof., non so' che dirti, ma sicuramente la presenza o meno della costante non modifica in alcun modo la natura dei punti di massimo e di minimo (modifica pero' il valore assunto dalla funzione in quei punti).
Mettiamoci in attesa di qualche parere piu' alto!
sqrt(2) ( x + y ) exp ( x^2 + y^2 )
Poi, riguardo alla soluzione del prof., non so' che dirti, ma sicuramente la presenza o meno della costante non modifica in alcun modo la natura dei punti di massimo e di minimo (modifica pero' il valore assunto dalla funzione in quei punti).
Mettiamoci in attesa di qualche parere piu' alto!
ok grazie...
a questo punto aspettiamo l opinione dei moderatori
a questo punto aspettiamo l opinione dei moderatori
Allora, si' la sostituzione e' corretta, in quanto la derivata direzionale di f nella direzione di v coincide con la funzione g=\sqrt(2)(x+y) sul vincolo. E' vero che g e' diversa dalla derivata direzionale di f, ma sul vincolo C coincidono, per cui il problema di max e min vincolato su C e' lo stesso, per g e per la derivata direzionale di f. Allora risolvo il problema per g, funzione piu' semplice (e' lineare).
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Luca Lussardi
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allora vediamo se ho capito.....
la derivata direzionale è: sqrt(2)*( x + y )*exp ( x^2 + y^2 ),giusto???
sul vincolo essa coincide con la funzione: sqrt(2) *( x + y )* e, giusto??
quindi me la vado a studiare kon i moltiplicatori di lagrange.
l'unico problema è ke il prof nella sotituzione si dimentica ke :exp(x^2 + y^2 ) {sul vincolo } = e
e quindi si studia praticamente la funz: sqrt(2) *( x + y ) al posto di: sqrt(2) *( x + y )* e
attendo risposta.
la derivata direzionale è: sqrt(2)*( x + y )*exp ( x^2 + y^2 ),giusto???
sul vincolo essa coincide con la funzione: sqrt(2) *( x + y )* e, giusto??
quindi me la vado a studiare kon i moltiplicatori di lagrange.
l'unico problema è ke il prof nella sotituzione si dimentica ke :exp(x^2 + y^2 ) {sul vincolo } = e
e quindi si studia praticamente la funz: sqrt(2) *( x + y ) al posto di: sqrt(2) *( x + y )* e
attendo risposta.
Si, la dimenticanza di e pesa sul risultato, chiaramente, e mi scuso se anche io ho commesso lo stesso errore, influenzato da quello che ho letto. Credevo che la questione fosse se e' corretto sostituire o no.
Per il resto si, quello che hai riassunto e' corretto.
Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
Per il resto si, quello che hai riassunto e' corretto.
Luca Lussardi
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ok grazie mille a tutti. *lollo86*
ok grazie mille a tutti *lollo86*
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