Ottimizzazione vincolata: alcuni dubbi

[Ryukushi1]

Ciao a tutti. Sto facendo degli esercizi di ottimizzazione vincolata, ma non riesco a capire il metodo di risoluzione che adotta il professore che è diverso dal metodo dei moltiplicatori, che, effettivamente, rende i conti molto complicati se applicato a quegli esercizi.

Metto i file con l'esercizio. La parte che non capisco è quella relativa alla ricerca dei punti critici sul bordo; non capisco come viene definita la funzione phi e il modo in cui, poi, viene usata.

Spero possiate illuminarmi!

[stormy1]

semplicemente,viene utilizzato il metodo di sostituzione
la funzione è $f(x,y)=e^(xy)$
ad esempio, su un tratto del bordo si ha $y=3$
quindi puoi sostituire nella $f(x,y)$ ad $y$ il valore $3$ ,ottenendo la funzione di una variabile $g(x)=e^(3x)$
non ti resta che trovare gli estremi assoluti di questa funzione nell'intervallo in cui varia la $x$

[Camillo]

Studia il comportamento della funzione sui bordi e si riconduce così allo studio di max e minimi per funzioni di una variabile.
Su $Gamma_1 $ è $y=3 ; -2<=x<=2 $ e la funzione diventa $ f(x,x)=e^(3x)$ che studia appunto come funzione di una sola variabile .
Discorso analogo su $Gamma_2 $ in cui si ha y=x^2-1 $ etc etc

[Ryukushi1]

E quando è che si può usare questo metodo piuttosto che i moltiplicatori? Sono equivalenti? Se si quando conviene usare uno piuttosto che l'altro?

[Camillo]

Se riesci a trasformare il problema in uno a una sola variabile è chiaramente un punto molto a favore.
Non sempre però è possibile esplicitare una variabile in funzione dell'altra.

[Ryukushi1]

Un'altra domanda: da dove ricava che x varia tra -2 e 2?

[Camillo]

Dalla definizione di $M =( (x,y) in RR^2 : x^2-1<=y<= 3 )$ e trovando le intersezioni fra la parabola $y=x^2-1$ e la retta $y=3 $
Un semplice disegno poi fa vedere subito come è composto M .
Il metodo di cui parliamo-ridurre tutto a una sola variabile- è molto utile ma richiede attenzione nel senso che va esaminato a parte cosa succede agli estremi del dominio cioè nei punti $-2,3 $ e $ 2,3$ .
Va cioè valutato il valore che assume la funzione di cui trovare max e minimi assoluti e va confrontato con gli altri valori eventualmente trovati.

[Ryukushi1]

"Camillo":Dalla definizione di $M =( (x,y) in RR^2 : x^2-1<=y<= 3 )$ e trovando le intersezioni fra la parabola $y=x^2-1$ e la retta $y=3 $
Un semplice disegno poi fa vedere subito come è composto M .
Il metodo di cui parliamo-ridurre tutto a una sola variabile- è molto utile ma richiede attenzione nel senso che va esaminato a parte cosa succede agli estremi del dominio cioè nei punti $-2,3 $ e $ 2,3$ .
Va cioè valutato il valore che assume la funzione di cui trovare max e minimi assoluti e va confrontato con gli altri valori eventualmente trovati.

Ma se uso i moltiplicatori dovrebbe uscire lo stesso risultato? Oppure c'è qualche ipotesi non rispettata in questo caso per poter utilizzare i moltiplicatori?