Ottimizzazione vincolata

[cata140793]

Ciao ragazzi, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio, che non mi specifica se è un problema di massimizzazione o di minimizzazione:

Sia $f.$ funzione obiettivo: $f(x,y)=xy$
soggetto ai vincoli: $ \ { (x+y=1) , (x>=0) , (y>=0) : }$

-Ho calcolato le derivate prime dei vincoli, creando la Jacobiana dei vincoli, ho verificato la condizione non degenerativa della qualificazione dei vincoli;
-Ho scritto la Lagrangiana, costruito i sistemi per ogni caso, a questo punto ho trovato uno solo punto critico:

$P(0,1,0,1,0)$
Costruisco l'Hessiana orlata:
$((0,1,0) , (1,0,1) , (0,1,0) )$

Gli LPM sono : $2-2=0$, non ci sono minori da controllare, quindi il punto è di minimo? (visti i vincoli $>=0$)

[pilloeffe]

Ciao Cate93,

Non ho controllato i tuoi conti, ma l'esercizio si può risolvere molto più semplicemente:

$z = f(x, y) = xy $

Dati i vincoli proposti dai quali si ricava $y = 1 - x $, si tratta semplicemente di studiare la funzione $ z = f(x) = x(1 - x) $ per $x \ge 0 $ e $z \ge 0 $, cioè nel primo quadrante. La funzione $z = x(1 - x) = -x^2 + x $ è una parabola con la concavità verso il basso avente vertice nel punto $V(1/2, 1/4) $ che è un punto di massimo.

[cata140793]

Ti ringrazio per la risposta ma purtroppo devo 'per forza' risolvere con Lagrange