Ottimizzazione libera - estremi funzione in R
Buongiorno,
volevo chiedervi l'aiuto per risolvere il seguente problema: io devo dimostrare che la funzione $f :$ $RR^2$ $rarr$ $RR$ definita con la legge:
$ f(x,y) = xy * e^(2x)$
Non ammette estremi.
Ho fatto le derivate prime parziali e mi viene:
$f'x(x,y) = y * e^(2x) * (1+2x)$
$f'y(x,y) = x * e^(2x)$
Ora il docente nelle slide dice che "poiché la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva" (credo intenda dire che $x*e^(2x)$ è sempre $>0$ $AA$ $x$ $>$ $0$, ma magari mi sbaglio) "allora l'unico punto stazionario è l'origine." $O(0,0)$
A questo punto procedendo con la derivata seconda, ma non mi convincono i risultati che mi sono venuti, perché mi viene:
$f''x(x,y)=2y*e^(2x)$
$f''y(x,y)= 0$
la derivata mista mi risulta essere:
$f''xy(x,y)= e^(2x)$
Ho quindi fatto la matrice e mi viene:
$H(x,y)=$ $((2y*e^(2x),e^(2x)),(e^(2x),0))$
Ora, calcolando il Determinante della matrice mi risulta:
$|H(x,y)|=2y*e^(2x)*0 - e^(2x)*e^(2x)$
Risolvendo il calcolo del Determinante ho ottenuto questo:
$|H(x,y)|=e^(4x)$
Adesso, io ho alcuni dubbi sia su come ho eseguito i calcoli, sia sul procedimento e sul risultato finale. Io devo dimostrare che la funzione non ammette estremi e non so come farlo, inoltre al professore risulta che inserendo l'origine $O(0,0)$ nel Determinante della matrice il risultato dovrebbe risultare indefinito, ma non so come farlo e dove sbaglio.
Mi sapreste aiutare?
volevo chiedervi l'aiuto per risolvere il seguente problema: io devo dimostrare che la funzione $f :$ $RR^2$ $rarr$ $RR$ definita con la legge:
$ f(x,y) = xy * e^(2x)$
Non ammette estremi.
Ho fatto le derivate prime parziali e mi viene:
$f'x(x,y) = y * e^(2x) * (1+2x)$
$f'y(x,y) = x * e^(2x)$
Ora il docente nelle slide dice che "poiché la funzione esponenziale è sempre strettamente positiva" (credo intenda dire che $x*e^(2x)$ è sempre $>0$ $AA$ $x$ $>$ $0$, ma magari mi sbaglio) "allora l'unico punto stazionario è l'origine." $O(0,0)$
A questo punto procedendo con la derivata seconda, ma non mi convincono i risultati che mi sono venuti, perché mi viene:
$f''x(x,y)=2y*e^(2x)$
$f''y(x,y)= 0$
la derivata mista mi risulta essere:
$f''xy(x,y)= e^(2x)$
Ho quindi fatto la matrice e mi viene:
$H(x,y)=$ $((2y*e^(2x),e^(2x)),(e^(2x),0))$
Ora, calcolando il Determinante della matrice mi risulta:
$|H(x,y)|=2y*e^(2x)*0 - e^(2x)*e^(2x)$
Risolvendo il calcolo del Determinante ho ottenuto questo:
$|H(x,y)|=e^(4x)$
Adesso, io ho alcuni dubbi sia su come ho eseguito i calcoli, sia sul procedimento e sul risultato finale. Io devo dimostrare che la funzione non ammette estremi e non so come farlo, inoltre al professore risulta che inserendo l'origine $O(0,0)$ nel Determinante della matrice il risultato dovrebbe risultare indefinito, ma non so come farlo e dove sbaglio.
Mi sapreste aiutare?
Risposte
$f_x=ye^(2x)(1+2x)$
$f_y=xe^(2x)$
$f_(x x)=4ye^(2x)(1+x)$
$f_(yy)=0$
$f_(xy)=f_(yx)=e^(2x)(1+2x)$
Cerchiamo in punti critici ponendo a sistema $ { ( f_x=ye^(2x)(1+2x)=0 ),( f_y=xe^(2x)=0 ):} $
Notiamo che $f_y$ non dipende da y e si annulla solo per $x=0$ (perchè $e^(2x)>0$ sempre).
Sostituiamo $x=0$ in $f_x$ e troviamo che esiste un unico valore per la y, ovvero zero.
Quindi la $f(x,y)$ ha un solo punto critico...ma di che tipo?
Il $det(H)=-[e^(2x)(1+2x)]^2$ da cui sostituendo il punto critico $(0,0)$ otteniamo $det(H_(0,0))=-1$ (quindi non è degenere).
Però $f_(x x)(0,0)=0$ per cui il test ci dice che nel punto critico l'hessiana non è definita positiva/negativa oppure indefinita. Pertanto il test è inconclusivo [strike](in effetti la matrice ottenuta non ha autovalori reali)[/strike].
Il test dell'energia $ ( x \ \ y ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( x ),( y ) ) =2xy $ in questo caso è assai comodo dato che immediato vedere che la funzione $2xy$ è positiva nel primo e terzo quadrante e negativa negli altri due.
Pertanto l'origine è un punto di sella.
Analogamente, si può affettare la $f(x,y)$ con i due piani $x-y=0$ e $x+y=0$ e notare che le funzioni risultanti sono rispettivamente concava positiva e negativa nell'intorno dell'origine.
Quindi l'unico punto critico è un punto di sella e non esistono massimi o minimi.
$f_y=xe^(2x)$
$f_(x x)=4ye^(2x)(1+x)$
$f_(yy)=0$
$f_(xy)=f_(yx)=e^(2x)(1+2x)$
Cerchiamo in punti critici ponendo a sistema $ { ( f_x=ye^(2x)(1+2x)=0 ),( f_y=xe^(2x)=0 ):} $
Notiamo che $f_y$ non dipende da y e si annulla solo per $x=0$ (perchè $e^(2x)>0$ sempre).
Sostituiamo $x=0$ in $f_x$ e troviamo che esiste un unico valore per la y, ovvero zero.
Quindi la $f(x,y)$ ha un solo punto critico...ma di che tipo?
Il $det(H)=-[e^(2x)(1+2x)]^2$ da cui sostituendo il punto critico $(0,0)$ otteniamo $det(H_(0,0))=-1$ (quindi non è degenere).
Però $f_(x x)(0,0)=0$ per cui il test ci dice che nel punto critico l'hessiana non è definita positiva/negativa oppure indefinita. Pertanto il test è inconclusivo [strike](in effetti la matrice ottenuta non ha autovalori reali)[/strike].
Il test dell'energia $ ( x \ \ y ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( x ),( y ) ) =2xy $ in questo caso è assai comodo dato che immediato vedere che la funzione $2xy$ è positiva nel primo e terzo quadrante e negativa negli altri due.
Pertanto l'origine è un punto di sella.
Analogamente, si può affettare la $f(x,y)$ con i due piani $x-y=0$ e $x+y=0$ e notare che le funzioni risultanti sono rispettivamente concava positiva e negativa nell'intorno dell'origine.
Quindi l'unico punto critico è un punto di sella e non esistono massimi o minimi.
Ma non basterebbe notare che $f(x,x)=x^2 e^{2x} \to \infty$ per $x \to \infty$ e che $f(x,-x)=-x^2e^{2x} \to -\infty$ per $x \to \infty$?
"Mephlip":
Ma non basterebbe notare che $f(x,x)=x^2 e^{2x} \to \infty$ per $x \to \infty$ e che $f(x,-x)=-x^2e^{2x} \to -\infty$ per $x \to \infty$?
Si può, ma solo perchè c'è un solo punto critico e perchè ci sono simmetrie.
Però non è un'argomentazione generale e va comunque spiegata in sede di esame.
Ne approfitto per correggere un'orrenda cacchiata che ho scritto di getto.
Guardando la matrice mi son detto "è una rotazione"...e in effetti lo è, ma è una riflessione, quindi ha chiaramente autovalori 1 e -1 (pure facilissimi da calcolare
)Quindi è un punto di sella.
per dire che l'origine è un punto di sella basta osservare che in ogni suo intorno circolare $xy$ è negativa nelle parti contenute nel secondo e quarto quadrante e positiva nelle parti contenute nel primo e terzo
Ciao 
Allora, essendo la tua funzione differenziabile in tutto il suo dominio, se esiste un punto estremante è tale per cui $\gradf=(0,0)$
Come hanno già fatto notare l'unico punto che soddisfa questa condizione è l'origine.
Ora, $f(0,0)=0$.
Dunque, vogliamo capire se si tratta di un punto estremante.Dato che in un intorno a quel punto $Deltaf = f(x,y)-f(0,0)$ non ha segno costante e quindi non è ne punto di max ne min e allora la funzione non ha punti estremanti non avendo altri punti che soddisfano la condizione necessaria.
Il segno variabile discende dal fatto che sostanzialmente la tua $f$ ha lo stesso segno di $xy$ dato che $e^(2x)>0 AA x \in RR$
Allora, essendo la tua funzione differenziabile in tutto il suo dominio, se esiste un punto estremante è tale per cui $\gradf=(0,0)$
Come hanno già fatto notare l'unico punto che soddisfa questa condizione è l'origine.
Ora, $f(0,0)=0$.
Dunque, vogliamo capire se si tratta di un punto estremante.Dato che in un intorno a quel punto $Deltaf = f(x,y)-f(0,0)$ non ha segno costante e quindi non è ne punto di max ne min e allora la funzione non ha punti estremanti non avendo altri punti che soddisfano la condizione necessaria.
Il segno variabile discende dal fatto che sostanzialmente la tua $f$ ha lo stesso segno di $xy$ dato che $e^(2x)>0 AA x \in RR$
Signori, se avete letto il post del OP con attenzione vi sarete certamente resi conto che ha passato Analisi 1 col classico calcio e cercava solo una spiegazione meccanica.
Chiedergli di uscire dall'hessiana prima ancora di comprenderla (e il mio post era diretto a questo) è un grande slancio di ottimismo, anzichenò.
Chiedergli di uscire dall'hessiana prima ancora di comprenderla (e il mio post era diretto a questo) è un grande slancio di ottimismo, anzichenò.
guarda che in matematica vengono prima le definizioni e poi i teoremi; prima ancora dell'hessiano c'è la definizione di punto sella ed è proprio quella che ho usato
si possono risolvere gli esercizi in maniera più semplice e quindi più intelligente, senza bisogno di tanti calcoli (c'è pure il rischio di sbagliare come hai fatto in un primo momento)
è molto probabile che l'utente apprezzerà molto di più la tua spiegazione, ma io guardo ai posteri
p.s: ma non ho capito, in questo forum vi sentite tutti dei padreterni? guai a chi propone alternative alle vostre soluzioni
si possono risolvere gli esercizi in maniera più semplice e quindi più intelligente, senza bisogno di tanti calcoli (c'è pure il rischio di sbagliare come hai fatto in un primo momento)
è molto probabile che l'utente apprezzerà molto di più la tua spiegazione, ma io guardo ai posteri
p.s: ma non ho capito, in questo forum vi sentite tutti dei padreterni? guai a chi propone alternative alle vostre soluzioni
"l'abatefarina":
guarda, che in matematica vengono prima le definizioni e poi i teoremi; prima ancora dell'hessiano c'è la definizione di punto sella ed è proprio quella che ho usato
lo studente adesso capirà che si possono risolvere gli esercizi in maniera più semplice e quindi più intelligente, senza bisogno di tutti quei calcoli( tra l'altro anche sbagliati in un primo tempo) che hai vomitato
datti una calmata( un altro professore del ****!!!!!!!)
Molto serenamente, ti mando a quel paese. Sarà un dejavù per te.
[hide="."]un cordiale vaffanculo anche a te[/hide]
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