Ottimizzazione col metodo Lagrangiano: dubbio

cata140793
Ciao a tutti,
nei problemi di ottimizzazione vincolata del tipo:
$max/min F(x,y)$
$s.t. h_1(x,y) <= , >= 0$
$h_2(x,y) <= , >=0$

Dopo aver costruito la Lagrangiana, ponendo le condizioni di primo ordine e aver risolto il sistema di equazioni con i vari casi che possono presentarsi a seconda del problema di ottimo, mi è sorto un dubbio:
- i punti critici che rintraccio, per essere considerati 'candidati al problema di ottimo' devono soddisfare contemporaneamente sia il sistema di equazioni poste con la funzione lagrangiana che il sistema di equazioni delle funzioni iniziali?
Scrivo un esempio per spiegarmi meglio:
$ min F(x,y)= x^2+3y^2$
s.t. $ x^2+y^2-1 >=0; 4y^2-1 >=0$

La funzione lagrangiana corrispondente: $L= x^2+3y^2 - λ_1( x^2+y^2-1) - λ_2(4y^2-1)$
Ho individuato quindi una serie di punti critici in riferimento ai vari casi analizzati con i due vincoli. Questi punti critici devono soddisfare tutte le equazioni del sistema che valgono con uguaglianza a zero oppure con le disuguaglianze? (in riferimento al problema iniziale)
Spero di aver spiegato il mio dubbio, grazie a tutti in anticipo:)

Risposte
gugo82
I punti critici della Lagrangiana sono del tipo $(x^(**), y^(**), lambda_1^(**), lambda_2^(**))$ ed essi sono soluzione di un problema di minimo libero, cioè senza vincoli.
Però, il vettore $(x^(**), y^(**))$ (che ha per coordinate le coordinate dei punti critici della Lagrangiana che non sono moltiplicatori) per essere una soluzione accettabile del problema iniziale deve necessariamente appartenere all’insieme ammissibile per il problema di minimo vincolato, cioè le sue coordinate devono soddisfare le equazioni o disequazioni dei vincoli.

Ad occhio, direi che le soluzioni sono i quattro punti in cui la circonferenza unitaria incontra le rette di equazioni $y=+-1/2$. Giusto?

cata140793
Si esatto, ho individuato i quattro punti critici che corrispondo al valore di y che hai scritto.
A seguito del controllo della matrice Hessiana, sono risultati tutti e quattro punti di minimo locale.
Quindi, se ho ben capito, dal momento in cui individuo i punti critici del sistema di equazioni della funzione lagrangiana:
-questi sono certamente punti che soddisfano il sistema (se non commetto errori di calcolo :D);
-gli stessi punti, per essere soluzioni al problema di ottimo devono anche appartenere all'insieme ammissibile e quindi devono altresì soddisfare i vincoli del problema (che possono valere con o senza uguaglianza).

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