Ottica richiesta da Analisi
Salve a tutti,
vi vorrei porre un grande dilemma che mi porto dietro già da 3 settimane:
Quest'anno ho iniziato la mia carriera universitaria presso la facoltà di Informatica a Milano ed a metà ottobre ho iniziato il mio corso di Analisi matematica 1. Sto cercando di affrontarla molto rigorosamente così:
1) Appunti: rielaborazione a casa con confronto fra appunti presi a lezione con libri + integrazione dei libri stessi (giorno dopo giorno);
2) Esercizi.
Quello che non capisco è perché pur capendo la teoria (la rielaborazione la scrivo cercando di capire ciò che scrivo) arrivato al momento di fare esercizi mi perdo come un ago in un pagliaio, non nell'uso di definizioni o di i teoremi ma nei "passi logici" di quello che dovrei fare.
Vi confesso che in vita mia è la prima volta che affronto analisi perché a scuola ho studiato fino alla trigonometria e finché si tratta di fare calcoli, equazioni, disequazioni razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche non ho problemi (matematica è una di quelle poche materie che mi ha sempre strappato il sorriso di bocca, un divertimento vero e proprio) ma oggi mi rendo conto più che mai di possedere un "ottica troppo meccanica" rispetto quella richiesta dalla mamma Analisi.
Secondo voi mi conviene prendere ripetizioni per gli esercizi?
Ho bisogno di entrare in questa ottica più "critica", più rigorosa. Avete suggerimenti? Consigli?
Grazie di cuore,
Andrea
vi vorrei porre un grande dilemma che mi porto dietro già da 3 settimane:
Quest'anno ho iniziato la mia carriera universitaria presso la facoltà di Informatica a Milano ed a metà ottobre ho iniziato il mio corso di Analisi matematica 1. Sto cercando di affrontarla molto rigorosamente così:
1) Appunti: rielaborazione a casa con confronto fra appunti presi a lezione con libri + integrazione dei libri stessi (giorno dopo giorno);
2) Esercizi.
Quello che non capisco è perché pur capendo la teoria (la rielaborazione la scrivo cercando di capire ciò che scrivo) arrivato al momento di fare esercizi mi perdo come un ago in un pagliaio, non nell'uso di definizioni o di i teoremi ma nei "passi logici" di quello che dovrei fare.
Vi confesso che in vita mia è la prima volta che affronto analisi perché a scuola ho studiato fino alla trigonometria e finché si tratta di fare calcoli, equazioni, disequazioni razionali, irrazionali, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche non ho problemi (matematica è una di quelle poche materie che mi ha sempre strappato il sorriso di bocca, un divertimento vero e proprio) ma oggi mi rendo conto più che mai di possedere un "ottica troppo meccanica" rispetto quella richiesta dalla mamma Analisi.
Secondo voi mi conviene prendere ripetizioni per gli esercizi?
Ho bisogno di entrare in questa ottica più "critica", più rigorosa. Avete suggerimenti? Consigli?
Grazie di cuore,
Andrea
Risposte
Benvenuto nel forum, intanto.
La risposta è: a piccoli passi.
Non è che magari cerchi di strafare puntando subito a esercizi medio alti?
Questo sarebbe sbagliato, visto che la materia è nuova per te (e a tal proposito, avere buona padronanza come dici della trigonometria, funzioni logaritmiche e disequazioni è già un valido aiuto per un corsi di Analisi di base, da cui non può prescindere nessuno).
Sarà banale, ma il mio consiglio è di iniziare dagli esercizi anche più scemi.
Penso sia così per tutti, quando si fa qualcosa di totalmente nuovo, sia essa un'equazione di primo grado, l'Analisi o la Relatività Ristretta, bisogna andare a bocconi piccoli.
In matematica a maggior ragione!
Quanto alle ripetizioni, tu sai.
Io aspetterei ancora, magari cercherei di reperire materiale dove poter leggere esercizi svolti (sul sito abbiamo una sezione apposita).
Se poi proprio non va e temi che la questione esercizi sia un problema, allora puoi rivolgerti a qualcuno che ne sa più di te e ti può anche dare un consiglio su come approcciare la questione.
In bocca al lupo per tutto.
La risposta è: a piccoli passi.
Non è che magari cerchi di strafare puntando subito a esercizi medio alti?
Questo sarebbe sbagliato, visto che la materia è nuova per te (e a tal proposito, avere buona padronanza come dici della trigonometria, funzioni logaritmiche e disequazioni è già un valido aiuto per un corsi di Analisi di base, da cui non può prescindere nessuno).
Sarà banale, ma il mio consiglio è di iniziare dagli esercizi anche più scemi.
Penso sia così per tutti, quando si fa qualcosa di totalmente nuovo, sia essa un'equazione di primo grado, l'Analisi o la Relatività Ristretta, bisogna andare a bocconi piccoli.
In matematica a maggior ragione!
Quanto alle ripetizioni, tu sai.
Io aspetterei ancora, magari cercherei di reperire materiale dove poter leggere esercizi svolti (sul sito abbiamo una sezione apposita).
Se poi proprio non va e temi che la questione esercizi sia un problema, allora puoi rivolgerti a qualcuno che ne sa più di te e ti può anche dare un consiglio su come approcciare la questione.
In bocca al lupo per tutto.
Sono d'accordo con Steven : piccoli passi per gli esercizi.
Per capire meglio le tue difficoltà fai un esempio di esercizio in cui ti sei incastrato...
Per capire meglio le tue difficoltà fai un esempio di esercizio in cui ti sei incastrato...
Ad esempio: "Stabilire se le seguenti successioni sono limitate ed il tipo di limitatezza (inferiore, superiore o entrambe)".
$frac{2n - 1}{3n + 1}$
1) Allora verifico prima se limitato superiormente:
$EE M\inR: \frac{2n - 1}{3n + 1} \<= M, \AAn\inN$
$2n - 1 \<= M(3n + 1)$
$2n - 1 \<= 3nM + M$
$2n - 3nM \<= 1 + M$
$n(2 - 3M) \<= 1 + M$
Se $2 - 3M \> 0$
$-3M \> -2$
$M \< \frac{2}{3}$
Non può essere limite superiore perché dovrebbe essere $> \AA n\inN$ quindi del limite inferiore.
Se $2 - 3M \< 0$
$-3M \< -2$
$M \> \frac{2}{3}$
Quindi limitata superiormente.
2) Ora verifico se limitato inferiormente:
$EE m\inR: \frac{2n - 1}{3n + 1} \>= m, \AAn\inN$
$2n - 1 \>= m(3n + 1)$
$2n - 1 \>= 3nm + m$
$2n - 3nm \>= 1 + m$
$n(2 - 3m) \>= 1 + m$
Se $2 - 3m \< 0$
$-3m \< -2$
$m \> \frac{2}{3}$
Non può essere limite inferiore perché dovrebbe essere $< \AA n\inN$ quindi del limite superiore.
Se $2 - 3m \> 0$
$-3m \> -2$
$m \< \frac{2}{3}$
$1 + m > 0, m \< \frac{2}{3}$
$m \> -1$
Quindi limitata inferiormente.
3) Conclusione: La successione:
$frac{2n - 1}{3n + 1}$
è limitata.
Domande:
1) Le deduzioni sono corrette?
Se sì:
2) Perché nel caso di limite superiore non si verifica il numeratore mentre nel limite inferiore sì?
Grazie
$frac{2n - 1}{3n + 1}$
1) Allora verifico prima se limitato superiormente:
$EE M\inR: \frac{2n - 1}{3n + 1} \<= M, \AAn\inN$
$2n - 1 \<= M(3n + 1)$
$2n - 1 \<= 3nM + M$
$2n - 3nM \<= 1 + M$
$n(2 - 3M) \<= 1 + M$
Se $2 - 3M \> 0$
$-3M \> -2$
$M \< \frac{2}{3}$
Non può essere limite superiore perché dovrebbe essere $> \AA n\inN$ quindi del limite inferiore.
Se $2 - 3M \< 0$
$-3M \< -2$
$M \> \frac{2}{3}$
Quindi limitata superiormente.
2) Ora verifico se limitato inferiormente:
$EE m\inR: \frac{2n - 1}{3n + 1} \>= m, \AAn\inN$
$2n - 1 \>= m(3n + 1)$
$2n - 1 \>= 3nm + m$
$2n - 3nm \>= 1 + m$
$n(2 - 3m) \>= 1 + m$
Se $2 - 3m \< 0$
$-3m \< -2$
$m \> \frac{2}{3}$
Non può essere limite inferiore perché dovrebbe essere $< \AA n\inN$ quindi del limite superiore.
Se $2 - 3m \> 0$
$-3m \> -2$
$m \< \frac{2}{3}$
$1 + m > 0, m \< \frac{2}{3}$
$m \> -1$
Quindi limitata inferiormente.
3) Conclusione: La successione:
$frac{2n - 1}{3n + 1}$
è limitata.
Domande:
1) Le deduzioni sono corrette?
Se sì:
2) Perché nel caso di limite superiore non si verifica il numeratore mentre nel limite inferiore sì?
Grazie
In primis concordo con Steven & Camillo.
Per risolvere quell'esercizio ti basta conoscere un paio di teoremi e lo studio di un caso particolare, cioè della successione [tex]a_n= 1/n[/tex], prova a mettere [tex]n[/tex] in evidenza sia a numeratore che a denominatore, a prescindere che fare tutti i calcoli, all'inizio, non ti fa male, anzi, li abbiamo fatti tutti, tranne Von Neumann.
PS
Non ho controllato quanto hai scritto, ma la deduzione che la successione è infine limitata, è corretta. Ciao
Per risolvere quell'esercizio ti basta conoscere un paio di teoremi e lo studio di un caso particolare, cioè della successione [tex]a_n= 1/n[/tex], prova a mettere [tex]n[/tex] in evidenza sia a numeratore che a denominatore, a prescindere che fare tutti i calcoli, all'inizio, non ti fa male, anzi, li abbiamo fatti tutti, tranne Von Neumann.
PS
Non ho controllato quanto hai scritto, ma la deduzione che la successione è infine limitata, è corretta. Ciao
Devo fare i calcoli usando le definizioni richieste, cioè quelle usate.
Qualcuno può rispondere alla domanda 2?
Grazie
Qualcuno può rispondere alla domanda 2?
Grazie
Io ti suggerirei un metodo più "diretto" per verificare se una tale successione è limitata. In realtà si riconduce al suggerimento dato da regim, ma fa uso di "conti" più che di risultati noti. Puoi scrivere
[tex]$\frac{2n-1}{3n+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6n-3}{3n+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6n+2-2-3}{3n+1}=\frac{1}{3}\cdot\left(2-\frac{5}{3n+1}\right)$[/tex]
Ora, dal momento che $n\geq 0$ segue $3n+1\geq 1$ da cui $0<\frac{1}{3n+1}<1$ e quindi
[tex]$-5<-\frac{5}{3n+1}<0\ \Rightarrow\ -3<2-\frac{5}{3n+1}<2\ \Rightarrow\ -1<\frac{1}{3}\left(2-\frac{5}{3n+1}\right)<\frac{2}{3}$[/tex]
Queste disequazioni ti danno, esplicitamente, una limitazione inferiore e superiore dei valori assunti dalla tua successione che ti permettono di concludere che essa è limitata. Osserva che in questo modo, sostanzialmente, hai usato le definizioni come volevi.
Per quanto riguarda la tua prima domanda all'approccio dello studio: dal punto di vista dello studente, ti posso dire che cercare di seguire volta per volta, cimentarsi con gli esercizi, chiedere ulteriori spiegazioni quando possibile e cercare, comunque, di risolvere "da solo" più problemi possibile è il metodo corretto. Dal punto di vista del docente, ti posso solo dire che il corso di Analisi I è, probabilmente, l'impresa più ardua per chiunque sia iscritto ad un corso di tipo tecnico-scientifico /escludendo matematica) e che va affrontato lasciando per un po' tutte le altre cose da parte. Analisi non è un esame "impossibile" ma richiede un'applicazione costante e seria, in quanto ci sono tanti piccoli ingredienti da mettere insieme per ottenere una comprensione completa della materia.
[tex]$\frac{2n-1}{3n+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6n-3}{3n+1}=\frac{1}{3}\cdot\frac{6n+2-2-3}{3n+1}=\frac{1}{3}\cdot\left(2-\frac{5}{3n+1}\right)$[/tex]
Ora, dal momento che $n\geq 0$ segue $3n+1\geq 1$ da cui $0<\frac{1}{3n+1}<1$ e quindi
[tex]$-5<-\frac{5}{3n+1}<0\ \Rightarrow\ -3<2-\frac{5}{3n+1}<2\ \Rightarrow\ -1<\frac{1}{3}\left(2-\frac{5}{3n+1}\right)<\frac{2}{3}$[/tex]
Queste disequazioni ti danno, esplicitamente, una limitazione inferiore e superiore dei valori assunti dalla tua successione che ti permettono di concludere che essa è limitata. Osserva che in questo modo, sostanzialmente, hai usato le definizioni come volevi.
Per quanto riguarda la tua prima domanda all'approccio dello studio: dal punto di vista dello studente, ti posso dire che cercare di seguire volta per volta, cimentarsi con gli esercizi, chiedere ulteriori spiegazioni quando possibile e cercare, comunque, di risolvere "da solo" più problemi possibile è il metodo corretto. Dal punto di vista del docente, ti posso solo dire che il corso di Analisi I è, probabilmente, l'impresa più ardua per chiunque sia iscritto ad un corso di tipo tecnico-scientifico /escludendo matematica) e che va affrontato lasciando per un po' tutte le altre cose da parte. Analisi non è un esame "impossibile" ma richiede un'applicazione costante e seria, in quanto ci sono tanti piccoli ingredienti da mettere insieme per ottenere una comprensione completa della materia.
Bellissimo il metodo di Ciampax , però richiede già una notevole dose di "occhio e di malizia " .
A me piace considerare la funzione $y=(2x-1)/(3x+1) $ che è una iperbole traslata e sempre crescente.
Quindi il valore minimo della successione si avrà per $ n=0 $ ottenendo $-1 $ ; l'estremo superiore ( non massimo ) lo si avrà facendo
$lim_(n rarr +oo )(2n-1)/(3n+1) = lim_(n rarr 00) (2-1/n)/(3+1/n)= 2/3$.
Però matehack deve farlo con gli strumenti che ha adesso a disposizione e quindi ben venga l'applicazione delle definizioni e i relativi calcoli.
Non fermarti però ad essi soltanto, schizza poi un grafico anche molto semplice dell'andamento degli elementi della successione.
Ecco il grafico della funzione ( non della successione ) nella zona di interesse.
Uploaded with ImageShack.us
A me piace considerare la funzione $y=(2x-1)/(3x+1) $ che è una iperbole traslata e sempre crescente.
Quindi il valore minimo della successione si avrà per $ n=0 $ ottenendo $-1 $ ; l'estremo superiore ( non massimo ) lo si avrà facendo
$lim_(n rarr +oo )(2n-1)/(3n+1) = lim_(n rarr 00) (2-1/n)/(3+1/n)= 2/3$.
Però matehack deve farlo con gli strumenti che ha adesso a disposizione e quindi ben venga l'applicazione delle definizioni e i relativi calcoli.
Non fermarti però ad essi soltanto, schizza poi un grafico anche molto semplice dell'andamento degli elementi della successione.
Ecco il grafico della funzione ( non della successione ) nella zona di interesse.
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"Camillo":
[...]
Gran bel metodo, peccato non averci pensato quando abbiamo accennato a queste cose a inizio anno; ok che sono al liceo e le cose sono più facili, ma questo metodo mi avrebbe proprio fatto comodo!
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