Osservazione sulle radici dell'unità di un numero complesso
Le radici n-sime dell'unità sono quelle del numero complesso $1+0*i $, ovvero il numero reale 1,
tra queste vi è sempre 1, naturalmente e poi le altre $n-1$ si dispongono a formare i vertici
di un poligono inscritto in una circonferenza unitaria, di $n$ lati equilatero.
Inoltre delle radici se $ n$ è pari allora ognuna avrà la sua complessa coniugata , altrimenti se $n$ dispari, allora tutte
eccetto 1, avranno la complessa coniugata. Quindi poichè le complesse coniugate compaiono sempre
a coppie e poichè la prima radice dell'unita è sempre 1, allora avremo per n dispari, n-1 radici complesse, che sono a coppie complesse coniugate e una radice reale cioè 1, mentre per $n$ pari avremo 2 radici reali +1 e -1, perchè solo le potenze pari tolgono il segno al -1 ed n-2, complesse, e a coppie complesse coniugate.
Ok riconosco quanto scritto . Qualcuno saprebbe spiegarmi il perchè?
tra queste vi è sempre 1, naturalmente e poi le altre $n-1$ si dispongono a formare i vertici
di un poligono inscritto in una circonferenza unitaria, di $n$ lati equilatero.
Inoltre delle radici se $ n$ è pari allora ognuna avrà la sua complessa coniugata , altrimenti se $n$ dispari, allora tutte
eccetto 1, avranno la complessa coniugata. Quindi poichè le complesse coniugate compaiono sempre
a coppie e poichè la prima radice dell'unita è sempre 1, allora avremo per n dispari, n-1 radici complesse, che sono a coppie complesse coniugate e una radice reale cioè 1, mentre per $n$ pari avremo 2 radici reali +1 e -1, perchè solo le potenze pari tolgono il segno al -1 ed n-2, complesse, e a coppie complesse coniugate.
Ok riconosco quanto scritto . Qualcuno saprebbe spiegarmi il perchè?
Risposte
Cosa non capisci?
salve gugo di quello che ho scritto capisco tutto. vorrei una spiegazione più che altro. cioè perchè se n pari allora succede una cosa mentre se n dispare ne succede un altra? perchè appaiono le complesse coniugate a coppie?
Conosci quel teorema che dice che, dato un polinomio $p(x) in RR[x]$ (cioè a coefficienti reali),
se $alpha in CC$ è radice di $p(x)$ anche $bar{alpha}$ (coniugato di $alpha$) è radice di $p(x)$?
se $alpha in CC$ è radice di $p(x)$ anche $bar{alpha}$ (coniugato di $alpha$) è radice di $p(x)$?
no
E' una diretta conseguenza del seguente:
n.b.: con $bar{p}(x)$ intendo quel polinomio che ha lo stesso grado di $p(x)$ e che ha per coefficienti i complessi coniugati dei coefficienti di $p(x)$.
Ecco, quel risultato che ho scritto nel post precedente permette di arrivare a quello che ti serve.
Infatti, preso il polinomio $p(x) = x^n -1 in RR[x]$, troviamone le sue radici reali:
Se $n$ è dispari $p(x)$ ha una sola radice reale, che è $1$ (basta fare un veloce studio della funzione $f(x)=x^n-1$). Dunque le rimanenti $n-1$ radici complesse sono due a due coniugate (per il risultato precedente).
Se $n$ è pari $p(x)$ ha due radici reali, cioè $-1$ e $1$, dunque le rimanenti $n-2$ radici sono due a due coniugate (idem).
Teorema: Sia $p(x) in CC[x]$ e sia $alpha in CC$ una sua radice. Allora $bar{alpha}$ è radice di $bar{p}(x)$.
n.b.: con $bar{p}(x)$ intendo quel polinomio che ha lo stesso grado di $p(x)$ e che ha per coefficienti i complessi coniugati dei coefficienti di $p(x)$.
Ecco, quel risultato che ho scritto nel post precedente permette di arrivare a quello che ti serve.
Infatti, preso il polinomio $p(x) = x^n -1 in RR[x]$, troviamone le sue radici reali:
Se $n$ è dispari $p(x)$ ha una sola radice reale, che è $1$ (basta fare un veloce studio della funzione $f(x)=x^n-1$). Dunque le rimanenti $n-1$ radici complesse sono due a due coniugate (per il risultato precedente).
Se $n$ è pari $p(x)$ ha due radici reali, cioè $-1$ e $1$, dunque le rimanenti $n-2$ radici sono due a due coniugate (idem).
"Gi8":
E' una diretta conseguenza del seguente:
Teorema: Sia $p(x) in CC[x]$ e sia $alpha in CC$ una sua radice. Allora $bar{alpha}$ è radice di $bar{p}(x)$.
Dunque le rimanenti $n-1$ radici complesse sono due a due coniugate (per il risultato precedente).
Non mi è chiaro come usa il teorema citato e il polinomio $ bar p(x) $, stiamo parlando di un polinomio reale, come finiamo nei polinomi complessi ?
Il risultato che uso è questo:
"Gi8":Nel mio post precedente ti ho detto che questo risultato è conseguenza del teorema
dato un polinomio $p(x) in RR[x]$ (cioè a coefficienti reali),
se $alpha in CC$ è radice di $p(x)$ anche $bar{alpha}$ (coniugato di $alpha$) è radice di $p(x)$
Teorema: Sia $p(x) in CC[x]$ e sia $alpha in CC$ una sua radice. Allora $bar{alpha}$ è radice di $bar{p}(x)$.
ah ok ok. anche se non mi è chiaro come il teorema implica il secondo. grazie in anticipo per la tua disponibilità
Semplicemente, se $p(x) in RR[x]$, allora $bar{p}(x)= p(x)$.
non mi dire niente ma non mi è chiaro.. Se ti è possibile essere più specifico. c'è qualcosa che mi sfugge relativamente all'implicazione del primo teorema con il secondo. grazie anticipatamente.
Meglio essere chiari:
Cioè, una volta che si è dimostrato che vale il teorema (1), è immediato provare il corollario (2).
E' proprio ciò che ho scritto anche prima: il corollario (2) è conseguenza immediata del teorema (1).
Teorema (1): Sia $p(x) in CC[x]$ e sia $alpha in CC$ una sua radice. Allora $bar{alpha}$ è radice di $bar{p}(x)$.
Corollario (2): Dato un polinomio $p(x) in RR[x]$ (cioè a coefficienti reali),
se $alpha in CC$ è radice di $p(x)$ anche $bar{alpha}$ è radice di $p(x)$
Cioè, una volta che si è dimostrato che vale il teorema (1), è immediato provare il corollario (2).
E' proprio ciò che ho scritto anche prima: il corollario (2) è conseguenza immediata del teorema (1).
grazie mille!!
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