Osservazione sulla trasformata di Fourier

[Zkeggia]

Ho trovato un' interessante domanda sulla trasformata di Fourier applicata alle funzioni non derivabili:

Prendiamo una funzione non derivabile, per esempio

$f(x) ={(1, 0
si può estendere il concetto di derivata facendo questi passaggi?

1) calcolare la trasformata di Fourier
2) supponendo valida anche per questa funzione la relazione $F(f'(t)) = -iw*F(f(t))$ calcolare la trasformata della "derivata"
3) ricavare $f'(x)$ antitrasformando quest'ultima funzione

Questi passaggi conducono a un risultato accettabile?

Ho provato a fare i conti ma l' ultimo integrale quando calcolato mi fornisce la funzione: $1/(2pi) * i*e^(iwt)*(1/t - e^(iw)/(i+1))$
e, volevo sapere se c'è qualche argomento teorico che mi consente di rispondere alla domanda... ho guardato un po' nella teoria ma non ho trovato niente di soddisfacente!

[dissonance]

Stai riscoprendo il concetto di "derivata debole". Hai mai studiato un po' di teoria delle distribuzioni?

[Zkeggia]

no, mai studiato...

Ma allora si può estendere?

Ma la funzione che ottengo in $(0,1)$ non fa 0, come invece la derivata della f di partenza fa... boh...

[dissonance]

Si. Infatti la funzione che hai citato è derivabile, ma in un senso più ampio che è quello distribuzionale. Anche il procedimento che suggerisci tu acquista senso in questo ambito più ampio.

Se invece della funzione che hai preso prendi

$f(t)={(1, -1=1):}$

che ha una trasformata di Fourier più semplice:

$hat{f}(omega)=2 \frac{sin omega}{omega}$

ti accorgi che $-iomega \hat{f}(\omega)$ non si può antitrasformare perché non è sommabile. E quindi ti blocchi. Ma se hai accesso all'ambito distribuzionale, superi questo ostacolo tecnico e hai la possibilità di antitrasformare ottenendo come risultato

$delta_{-1}+delta_{1}$

(delta di Dirac). Questa è proprio la derivata in senso distribuzionale della funzione $f$.

[dissonance]

"Zkeggia":Ma la funzione che ottengo in $(0,1)$ non fa 0, come invece la derivata della f di partenza fa... boh...

Certo, questi sono proprio i problemi alla base della teoria delle distribuzioni. Io purtroppo non sono molto esperto dell'argomento quindi non riesco adesso a "divulgarlo" a modino. Prova con una ricerca sul forum, mi ricordo di interventi di ViciousGoblin e anche di Gugo molto illuminanti a riguardo.

[Zkeggia]

Per ciò io potrei calcolare l'integrale e dire che la funzione che ottengo non può essere la derivata (nel senso che conosco) della f di partenza, ma la posso assimilare a una derivata?

[dissonance]

Quasi. L'unico problema è che la derivata distribuzionale di $f$ NON è una funzione, perché se lo fosse non potrebbe che essere q.o. nulla. Quindi essa esiste solo nel mondo più ampio delle distribuzioni e non puoi ricondurla al familiare mondo delle funzioni, che conosci. Un po' come le radici dell'equazione

$x^2+1=0$

che ha coefficienti reali, non sono numeri reali. Se ci limitassimo ai numeri reali non potremmo che concludere: "questa equazione non ha soluzioni". Analogamente, se ci limitassimo alle funzioni, non potremmo che concludere: "$f$ non è derivabile".

Per una introduzione intuitiva al concetto di distribuzione, vedi

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#313193